\documentstyle[esperant,12pt]{article}

% La kopirajto je ^ci tiu teksto estas ^ce la a^utoro.
% Estas permesata libere kopii kaj pludoni ^gin sen^san^ge.
%
% La a^utoro rifuzas ^ciun eblan respondecon por ^ciaj eventualaj
% malavanta^goj ka^uzataj de la legado de ^ci tiu teksto a^u de
% la uzo de ^gia enhavo.
%
% Komentoj estas bonvenaj, bonvole sendu ilin e-po^ste al
% la Internet-adreso "konrad@thphys.physik.rwth-aachen.de".

\newcommand{\spaco}{\vspace{4mm}}

\begin{document}

\title{Esencoj de la kvantummekaniko}
\author{Konrad Hinsen}
\date{}
\maketitle

Tiu ^ci teksto provas klarigi la esencajn trajtojn de la 
kvantummekaniko al ne-fizikistoj. Kvankam multaj popularsciencaj 
libroj pri tiu temo jam ekzistas, ili ^cefe donas ekzemplojn por 
la konduto de kelkaj kvantumaj sistemoj, sed ne bone priskribas 
la fundamentajn diferencojn inter tiuj sistemoj kaj la objektoj 
de la ^ciutaga vivo, kies konduton ni ^ciuj konas.

La sekvonta priskribo ne intencas esti senmatematika, kiel multaj 
popularsciencaj verkoj. ^Gi supozas ke la leganto havas bazan 
scion pri matematiko kaj fiziko, proksimume je lerneja nivelo. 
Tamen matematikaj formuloj estas evitataj, ^car ofte ili ne 
estas necesaj por kompreni la esencojn.


\section{La klasika mekaniko}

Por bone kompreni la kvantummekanikon, kaj por pritaksi la 
fundamentajn diferencojn, oni devas unue havi klaran bildon pri la 
t.n.\ klasika mekaniko, do tiu mekaniko, kiu ^gis la komenco 
de la nuna jarcento estis konsiderata universale valida, kaj kiu 
^guste priskribas la konduton de grandaj, ekzemple ^ciuj 
senile videblaj, objektoj. Kvankam ^ciu havas iom da praktika 
sperto pri la klasika mekaniko el la observado de ^ciutagaj 
aferoj, la teoria priskribo estas malpli konata.

La temo de la mekaniko estas la priskribo de la movoj de 
materiaj a^joj al kiuj agas fortoj. La esti^go kaj konduto de 
tiuj fortoj estas la temo de aliaj fakeroj de la fiziko; la 
elektrikajn kaj magnetajn fortojn ekzemple pritraktas la 
elektrodinamiko. Ekzistas mekanikaj priskriboj kaj por rigidaj 
kaj por flekseblaj a^joj, tamen nun ni konsideras nur 
punktformajn objektojn, por plisimpligi la priskribon. Oni povas 
priskribi ^ciujn aliajn materiajn objektojn kiel amason da 
punkta^joj, do tiu limigo ne estas fundamente grava. Punktformajn 
materiajn objektojn oni kutime nomas {\em maspunktoj}.

Unue ni devas pripensi {\em kiel} la klasika mekaniko priskribas 
la movon de maspunktoj, do {\em kia} estas la rezulto de 
la^umekanika kalkulo. Tiu problemo ^sajnas simpla, la solvo 
evidenta. Tamen jam al tiu demando la kvantummekaniko donas tute 
alian respondon, kiel ni vidos sekve.

Fakte la rezulto de la^umekanika kalkulado estas matematikaj 
funkcioj, kiuj por ^ciu tempo indikas la {\em lokojn} de ^ciuj 
maspunktoj; kutime oni nomas tiujn funkciojn 
$\vec{r}_i(t)$\footnote{La sago super la litero $r$ indikas, ke 
la loko estas {\em vektoro}, do grando kun tri eroj, unu por 
^ciu spacdirekto. La numero $i$ indikas unu el la maspunktoj.}. 
Konante tiujn funkciojn oni povas kalkuli ^ciujn aliajn fizikajn 
grandojn, ekzemple rapidojn, energiojn, ktp. Nenia plia informo 
estas bezonata, fakte e^c neniuj pliaj sendependaj fizikaj 
grandoj ekzistas por maspunktoj.

Sed kiun informon oni {\em bezonas} por kalkuli $\vec{r}_i(t)$? 
Kompreneble priskribon de la tuta fizika sistemo, do la nombron 
de maspunktoj kaj la fortojn agantajn inter ili. Sed tio ne 
sufi^cas, kiel la ^ciutaga sperto montras: pendolo (kiu povas 
esti rigardata kiel maspunkto kun (preska^u) senmasa ^snuro al 
kiu agas la tero per la pezforto) povas vaste svingi^gi a^u 
tute ne movi^gi, depende de kion ni komence faras pri ^gi. Krom 
la supre menciita priskribo, oni bezonas la lokojn kaj la 
rapidojn de ^ciuj maspunktoj je unu tempo. Havante tiujn informojn, 
oni povas kalkuli la funkciojn $\vec{r}_i(t)$, kaj por la 
pasinta kaj por la estonta tempo. Pro tio oni diras, ke lokoj 
kaj rapidoj difinas la {\em dinamikan staton} de fizika sistemo.

Akiri la funkciojn $\vec{r}_i(t)$ nun estas pure matematika 
problemo. La priskribo de la fizika sistemo donas regulon, la^u 
kiu oni povas kalkuli la fortojn inter la maspunktoj konante 
iliajn lokojn kaj rapidojn (ofte la lokoj jam sufi^cas). 
La fama le^go de Newton asertas, ke la forto aganta al iu 
maspunkto, dividita per ties maso, egalas la ^san^gon de la 
rapido. Konante la komencajn rapidojn kaj la fortojn, oni do facile 
kalkulas la estontajn rapidojn. Konante la rapidojn, kiuj ja estas 
la ^san^goj de la lokoj, kaj la komencajn lokojn, oni kalkulas 
la estontajn lokojn. Entute do tiu kalkulproceso donas la estontan 
dinamikan staton.

Fundamente tio estas kompleta priskribo de la klasika mekaniko 
por maspunktoj. Tamen estas menciinde, ke la le^go de Newton ne 
estas la sola formo de la le^goj de la mekaniko. Pluraj aliaj 
versioj ekzistas, kiuj donas precize la samajn rezultojn, sed 
havas avanta^gojn a^u malavanta^gojn en la praktika uzo, depende 
de la solvenda problemo. Precipe grava por ni estas la {\em ekvacioj 
de Hamilton}, kiuj donas la ^san^gojn de lokoj kaj rapidoj 
samtempe, se oni nur havas formulon por la tuta energio de la 
sistemo depende de lokoj kaj rapidoj. Tiu formulo anstata^uas 
la formulon por la fortoj; fakte fortoj tute ne aperas. Por la 
klasika mekaniko de maspunktoj tiu diferenco ne tre gravas; fortoj 
kaj energio estas same facile troveblaj. Oni elektas unu a^u la 
alian la^u matematika simpleco. Sed ni vidos, ke pri la 
kvantummekaniko la situacio estas tute malsama.

\spaco

Por montri la matematikan aspekton de la klasika mekaniko, sekvas 
simpla kaj bone konata ekzemplo: la movo de planedo ^cirka^u la 
suno. Planedo kaj suno estu rigardataj kiel maspunktoj; tiu 
simpligo ne gravas se oni ne volas studi la turni^gan movon 
de amba^u ^cielkorpoj ^cirka^u si mem. La sola forto estas la 
pezforto ka^uzata de la masoj $m_s$ kaj $m_p$. La forto aganta al 
la planedo estas
\begin{displaymath}
\vec{F}_p = -\frac{Gm_sm_p\vec{r}}{r^3}.
\end{displaymath}
En ^ci tiu ekvacio, $\vec{r}$ estas la loko de la planedo 
relative al la suno kaj $r$ estas la distanco inter amba^u (do la 
longo de $\vec{r}$). $G$ estas universala konstanto. La forto 
$\vec{F}_s$ havas la saman grandon kiel $\vec{F}_p$, sed 
kontra^uan direkton. En ^ci tiu ekzemplo la forto dependas nur de 
la lokoj, ne de la rapidoj.\footnote{Ekzemplo por forto kiu 
dependas de la rapidoj estas la magneta forto.} La ^san^go de la 
rapido $\vec{v}_p$ de la planedo nun estas
\begin{displaymath}
\frac{d\vec{v}_p}{dt} = \frac{\vec{F}_p}{m_p}
\end{displaymath}
(la le^go de Newton), la ^san^gon de la loko oni kalkulas el 
la difino de la rapido,
\begin{displaymath}
\frac{d\vec{r}_p}{dt} = \vec{v}_p.
\end{displaymath}
La movo de la suno estas priskribata per similaj formuloj. Solvi 
la ekvaciojn estas ne tro malfacile, la rezulto estas ke la planedo 
movi^gas je elipso a^u hiperbolo ^cirka^u la suno, depende de la 
komencaj loko kaj rapido.

Por studi la saman sistemon per la ekvacioj de Hamilton, oni 
bezonas la energion de la sistemo, kiu dependas de la distanco
$r$ (pro la pezforto) kaj de la rapidoj, ^car ^ciu 
movi^ganta objekto ja havas energion ^guste pro sia movo. La 
tuta energio estas
\begin{displaymath}
H = -\frac{Gm_sm_p}{|\vec{r}_p-\vec{r}_s|} + \frac{1}{2}m_p\vec{v}_p^2
+ \frac{1}{2}m_s\vec{v}_s^2.
\end{displaymath}
El tiu funkcio $H(\vec{r}_s,\vec{r}_p,\vec{v}_s,\vec{v}_p)$ oni 
povas kalkuli la ^san^gojn de lokoj kaj rapidoj per la 
ekvacioj de Hamilton:\footnote{La fizikistoj pardonu la uzon de
rapidoj anstata^u impulsoj. Enkonduki impulsojn plikomplikigus
la tekston, kaj por maspunktoj la diferenco ne gravas.}
\begin{eqnarray*}
\frac{d\vec{r}}{dt} &=& \frac{1}{m}\frac{\partial 
H}{\partial\vec{v}}\\
\frac{d\vec{v}}{dt} &=& -\frac{1}{m}\frac{\partial 
H}{\partial\vec{r}}
\end{eqnarray*}
Oni facile pruvas, ke por tiu ^ci sistemo la unua ekvacio estas la 
difino de la rapido kaj la dua estas la le^go de Newton, sed tio 
ne estas ^generale valida.


\section{La kvantummekaniko}

Post tiu studo de la klasika mekaniko, ni nun povas pritrakti la
kvantummekanikon. Por doni unuan impreson pri la esencaj 
diferencoj, kiujn la kvantummekaniko enkondukas, helpas nomi 
konceptojn, kiuj ne plu ekzistas a^u almena^u alprenas tute alian 
signifon: loko, rapido, forto. El tiu listo estas evidenta, ke 
la kvantummekaniko donas ne nur aliajn, sed e^c alispecajn 
rezultojn.

\spaco

La plej grava diferenco estas, ke la kvantummekaniko ne donas 
precizajn valorojn por iuj mezureblaj grandoj, sed nur {\em 
ver^sajnojn}. Kalkuli precizajn valorojn por kvantuma sistemo 
estas principe neebla, ne estas nura kalkulteknika problemo. Tiu 
fakto ka^uzis kaj ka^uzas multajn filozofiajn problemojn, ^car ne 
plu validas, ke ^ciu okaza^jo havas ka^uzon. Pro tio kelkaj 
fizikistoj kaj aliaj sciencistoj ^gis la hodia^ua tago rifuzas 
kredi je la ^gusteco de la kvantummekaniko, kvankam ^giaj 
anta^udiroj ^gis nun ^ciuj montri^gis ^gustaj. Sed tiu diskuto 
estas tro komplika por esti detale pritraktata ^ci tie.

La neeblo kalkuli precizajn valorojn signifas, ke anka^u la 
funkcioj $\vec{r}_i(t)$ ne plu ekzistas. Lokoj kaj rapidoj ne 
plu estas klare difinitaj. Pro tio la ``dinamika stato'' de la 
klasika mekaniko devas esti anstata^uigata per io alia. ^Gian 
lokon alprenas pli abstrakta grando, la {\em kvantumstato} de 
la sistemo. Tiu kvantumstato povas esti priskribata 
diversmaniere, oni elektas ta^ugan version la^u matematika 
simpleco. ^Ciuj priskriboj havas kelkajn komunajn trajtojn: 
ili estas kompleksaj funkcioj kiuj dependas de tiom da variabloj 
kiom oni bezonas por indiki la lokojn de ^ciuj maspunktoj, do 
trioble ilia nombro. Pro historiaj kialoj oni nomas tiujn 
funkciojn {\em ondfunkcioj\/}; ilia konduto iom similas al 
funkcioj per kiuj oni matematike priskribas ondojn, kaj pro tio 
oni komence kredis ke la kvantumstato fakte estas ia ondo. Tio 
estas anka^u la ^cefa kialo por la ofta aserto ke ``la^u la 
kvantummekaniko objektoj kondutas kiel ondoj''. Oni ne komprenu 
tion la^ulitere, kvankam la matematika simileco ka^uzas anka^u 
komunajn kondutajn trajtojn.

Restas du demandoj pri tiu nova formo de dinamika stato: kion ^gi 
fizike signifas, kaj kiel ^gi ^san^gi^gas la^utempe. Ni unue 
pritraktu la pli malfacilan demandon, tiun pri la signifo. 
Surprize la ondfunkcio havas nenian rektan signifon; ^gi ne estas 
fizika grando, ^gi ne estas mezurebla (kontra^ue al la klasika 
dinamika stato, kiu estas facile observebla). La sola metodo por 
ekhavi tiun funkcion estas kalkuli ^gin la^uteorie\footnote{Fakte 
la ondfunkcio por iu sistemo ne estas komplete difinita per la 
teorio, sed tio ne gravas ^ci tie.}. Nur ^gia {\em 
absolutkvadrato}\footnote{Por tiuj, kiuj ne konas kompleksajn 
nombrojn sufi^ce bone, necesas mallonga klarigo: kompleksaj 
nombroj konsistas el du sendependaj reelaj nombroj, kiujn oni 
nomas `reela' kaj `imaginara' parto. La absolutkvadrato estas la 
sumo de la kvadratoj de amba^u partoj.} havas fizikan signifon: 
^gi indikas la ver^sajnojn por rezultoj de mezuroj.

Ver^sajne la plej ofte uzata ondfunkcio estas tiu kiu dependas de 
la lokoj de ^ciuj maspunktoj. ^Gia absolutkvadrato do indikas la 
ver^sajnon por trovi ^ciujn maspunktojn ^ce tiuj specifaj 
lokoj, se oni mezuras ilin samtempe\footnote{Se oni ne mezuras 
ilin samtempe, la rezultoj de la postaj mezuroj dependas de la 
rezultoj de la anta^uaj mezuroj.}. Sed la ondfunkcio donas ne 
nur la ver^sajnojn por lokmezuroj, sed por la mezuroj de 
{\em ^ciuj} fizikaj grandoj; oni nur bezonas iom pli komplikajn 
matematikajn operaciojn. Al ^ciu fizika grando respondas 
matematika operacio, per kiu oni povas kalkuli la ser^catajn 
ver^sajnojn. La aspekto de tiu operacio denove dependas de la 
elektita priskribo.

La fakto, ke ne rezultoj, sed nur ver^sajnoj por rezultoj, 
estas kalkuleblaj, estas la plej grava diferenco inter la 
klasika mekaniko kaj la kvantummekaniko. Alia ofte menciata 
diferenco estas, ke kelkaj fizikaj grandoj (inter ili la energio) 
ne povas havi iun ajn reelan valoron, sed nur kelkajn specifajn. 
Tio estas rekta konsekvenco el la ver^sajneca karaktero 
de la kvantummekaniko kaj la matematikaj operacioj per kiuj oni 
kalkulas ver^sajnojn. Sed beda^urinde ne eblas pli detale 
priskribi tion sen relative komplika matematiko. Tio validas 
anka^u por alia interesa kvantuma efekto: kelkaj kombina^joj de 
fizikaj kvantoj (ekzemple loko kaj rapido de unu maspunkto) ne 
estas mezureblaj samtempe, ^car la mezuro de unu neeviteble 
^san^gas la valoron de la alia. Tion oni nomas la 
``neprecizecan rilaton'', kiun unue malkovris Heisenberg.

Restas la problemo de la la^utempa evoluo de ondfunkcioj. 
Evidente ^gi dependas de la studata sistemo. En la klasika 
mekaniko oni povis priskribi sistemojn per la fortoj inter ili; 
tiujn fortojn oni uzis en la le^go de Newton. Sed la koncepto 
de ``forto'' ne ta^ugas en la kvantummekaniko. Forto ja indikas 
la ^san^gon de iu rapido, sed tiu difino ne plu estas uzebla se 
la rapidoj ne havas klare difinitan valoron. Oni povus enkonduki 
novan difinon, sed tio nur kreus konfuzon. Bon^sance ekzistas 
aliaj priskriboj de klasikaj sistemoj, kiuj ne enhavas fortojn, 
ekzemple la supre uzataj ekvacioj de Hamilton. Tia priskribo estas 
aplikebla anka^u al kvantumaj sistemoj. Kiel por la klasika mekaniko 
oni bezonas la energifunkcion depende de lokoj kaj rapidoj. 
Ekzistas klara matematika regulo por konstrui el tiu funkcio 
ekvacion por la la^utempa evoluo de ondfunkcioj. Tiun ekvacion 
oni nomas la ``ekvacio de Schr\"odinger''. Por la ondfunkcio 
$\psi(\vec{r}_1,\ldots,\vec{r}_N)$ de sistemo el $N$ maspunktoj la 
ekvacio de Schr\"odinger estas
\begin{displaymath}
i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi =
-\sum_{j=1}^N \frac{\hbar^2}{2m_j} \nabla^2_j \psi
+ V(\vec{r}_1,\ldots,\vec{r}_N) \psi.
\end{displaymath}
En tiu ekvacio $V$ estas la lokdependa parto de la tuta energio, 
ekzemple elektra energio, kaj $\nabla^2_j$ estas mallongigo por 
$\frac{\partial^2}{\partial x_j^2} + \frac{\partial^2}{\partial 
y_j^2} + \frac{\partial^2}{\partial z_j^2}$, kie $x$, $y$ kaj $z$ 
estas la tri spacaj direktoj.

Tiu ^ci ekvacio kun la supre donata interpretado de la ondfunkcio 
$\psi$ estas kompleta kvantuma priskribo de sistemo el 
maspunktoj. Priskribo de pli komplikaj sistemoj enhavas kelkajn 
matematikajn problemojn, sed nur malmulte da novaj fizikaj ideoj. 
Preska^u ^ciuj strangaj konsekvencoj de la kvantummekaniko enestas 
en la ekvacio de Schr\"odinger.


\section{^Cu la klasika mekaniko estas mal^gusta?}

Kelkfoje oni povas legi, ke la klasika mekaniko estas mal^gusta, 
^car nur la kvantummekaniko bone priskribas ^ciujn fizikajn 
sistemojn. Tio certe pravas, la^u la klasika mekaniko ekzemple la 
ekzisto de atomoj estus tute neebla.\footnote{La^u la klasika 
mekaniko elektronoj devas fali en la nukleon, se ili ne konstante 
movi^gas ^cirka^u ^gi kiel planedoj ^cirka^u la suno. Sed 
movi^gante cirkle ili konstante forradius lumon, perdante energion, 
kaj tial post mallongega tempo tamen falus en la nukleon.} 
Aliflanke la klasika mekaniko ja tute kontentige priskribas ^ciutagajn 
aferojn, ekzemple falantajn ^stonojn a^u movi^gantajn a^utojn. 
^Gi certe ne povas esti tute mal^guste. Do kiom ^gusta ^gi estas?

Por esplori tion, oni devas kompari la rezultojn de la klasika 
mekaniko al tiuj de la kvantummekaniko. Farinte tion oni 
eltrovas, ke por grandaj sistemoj (do sistemoj el multegaj 
atomoj) je altaj energioj (ekzemple ^ce normalaj temperaturoj) 
amba^u donas la samajn rezultojn.\footnote{Atenta leganto povus rimarki, 
ke tio ne eblas: la klasika mekaniko anta^udiras precizajn valorojn, 
la kvantummekaniko ver^sajnojn. Tamen tio ne estas kontra^udiro, ^car 
precizaj valoroj ja nur estas speciala kazo de ver^sajnoj. Por grandaj 
sistemoj, la kvantumaj ver^sajnoj por la klasike precizaj valoroj 
estas grandegaj, dum ^ciuj aliaj valoroj havas neglekteble malgrandan 
ver^sajnojn.} La klasika mekaniko do estas 
bonega alproksimigo al la kvantummekaniko je tiaj kondi^coj, kiaj 
certe validas por ^ciutagaj aferoj. La klasika mekaniko estas 
tute ^gusta, se oni aplikas ^gin nur al ta^ugaj problemoj.

Fakte tio ne estas speciala eco nur de la klasika mekaniko: ^ciuj 
fizikaj teorioj havas limigitan aplikeblecon, sed ofte la limoj 
evidenti^gas nur multajn jarojn post la esti^go de la teorio. Se oni 
ne trovas la limojn de iu teorio dum kelkaj jaroj, oni emas nomi 
^gin universala, sed la historio montras, ke limoj povas 
evidenti^gi e^c post jarcentoj.


\section{Noto pri la relativeca mekaniko}

^Gis nun nenio estis dirata pri la alia revolucia ^san^go de la 
fizika mondbildo en tiu ^ci jarcento, la relativeca 
teorio\footnote{La nomo ``relativeca'' estas misgvida, sed 
ver^sajne ne plu ^san^gebla.}. ^Gi necesigas kelkajn ^san^gojn al 
la le^go de Newton, kiuj esprimas la fakton ke mashavaj objektoj 
povas nek atingi nek superi la rapidon de la lumo, do ke ekzistas 
nesuperebla plej granda rapido. Unu konsekvenco estas ke la 
terminoj ``samtempe'' kaj ``samloke'' ne plu havas absolutan sencon; 
ili validas nur se la observantoj de la koncernaj okaza^joj ne 
movi^gas unu relative al la alia. Same kiel la kvantummekaniko la 
relativeca teorio ne gravas por ^ciutagaj aferoj. Sed kian efikon 
^gi havas al la kvantummekaniko?

La respondo estas simpla: la relativeca teorio ^san^gas klasikan 
kaj kvantummekanikon similmaniere. La ekvacio de Schr\"odinger 
devas esti korektata. Sed ne plu ekzistas nur unu relativeca 
modifo, ekzistas pluraj. La kialo estas ke el la kombino de 
kvantuma kaj relativeca teorioj esti^gas nova fenomeno, la t.n.\ 
{\em spino}.\footnote{La spinon oni povas pritrakti anka^u per 
la nerelativeca kvantummekaniko, do per la ekvacio de Schr\"odinger. 
Sed en la nerelativecan teorion oni devas {\em enmeti} ^gin, dum 
la^u la relativeca kvantummekaniko ^gi estas {\em rezulto}.} 
La spino aperas en la matematikaj ekvacioj kvaza^u turni^go 
de korpusklo ^cirka^u si mem. Tamen tiun bildon oni ne trostre^cu; 
ekzistas anka^u gravaj diferencoj inter spino kaj turni^go. Detala 
priskribo de la spino beda^urinde ne eblas ^ci tie, ^car necesas 
komplika matematiko.

\spaco

Kaj per tio komento fini^gas ^ci tiu mallonga rakonto pri la 
kvantummekaniko. Certe restas multegaj klariginda^joj, kaj mankas 
anka^u ekzemploj. Beda^urinde e^c la plej simplaj 
kvantummekanikaj problemoj ne estas solveblaj sen relative vasta 
scio de matematikaj teknikoj. Si vi volas scii pli, iru al 
universitato kaj ekstudu fizikon!

\end{document}
