%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%                                                                         %%%
%%%   Dosiero " hipotez.tex "                                               %%%
%%%                                                                         %%%
%%%   La formato  respondas al la internacia normo  21.0 cm x 29.7 cm       %%%
%%%   Se vi deziras alian formaton, bv. shanghi la koncernajn komandojn     %%%
%%%   en la dokumento-kapo                                                  %%%
%%%                                                                         %%%
%%%   Transformu la dosieron per "latex ....."                              %%%
%%%   Neglektu la avertojn : "Overfull \hbox"                               %%%
%%%                                                                         %%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\documentstyle[12pt]{article}            
\parskip1ex plus0.5ex minus0.2ex
\textwidth15.5cm    \textheight23cm
\oddsidemargin0mm   \evensidemargin-4.5mm   \topmargin-10mm
\begin{document}

\begin{tabular}{|c|}
\hline
    \\
{\bf \hspace*{5mm}
Eltira\^{\j}o el
}\\
{\bf \large \hspace*{5mm}
Acta Sanmarinensia  2.5/1992
} \\
\hspace*{5mm}{\bf
ISBN 83-85033-07-1
} \\[4mm]
\hspace*{5mm}
{\bf De tiu-\^ci publika\^{\j}o estas haveblaj traduka\^{\j}oj en la lingvoj :
\hspace*{5mm} }\\
\hspace*{3cm}{\bf
germana
} \\
  \\
\hline
\end{tabular}
\\[5mm]

\begin{center}
{\bf \large
 Pri la testado de statistikaj hipotezaroj 
}

de H. D. Quednau, M\"unchen (D)\\
( Prelego prezentita dum SUS 5 en San Marino, a\u{u}gusto 1988 )
\end{center}

{\bf Resumo} \\
\ \ \ 
   Per praktika ekzemplo estas demonstrata la neceso de multoblaj
test\-pro\-cedoj, kaj la plej simplaj kaj fun\-da\-mentaj el ili estas
pre\-zen\-tataj, nome la simpla Bon\-ferroni- kaj la
Bonferroni-Holm-procedoj. Estas montrate, kiel eblas pli\-bonigi la
Bon\-ferroni-Holm-procedon per pro\-ce\-do pro\-ponita de {\sc Shaffer} (1986)
se la test\-hipo\-tezoj inter\-dependas, kaj kia\-maniere oni modifu la
procedon, se unu el la test\-hipo\-tezoj estas globala.

{\bf Zusammenfassung} \\
\ \ \ 
   An einem praktischen Beispiel wird dargestellt, warum multiple
Test\-verfahren not\-wendig sind, und es werden die ein\-fachsten und
grund\-legenden dieser Ver\-fahren vor\-gestellt, n\"amlich das einfache
Bon\-ferroni- und das Bonferroni-Holm-Ver\-fahren. Es wird gezeigt, wie
sich die Bonferroni-Holm-Prozedur bei gegen\-seitiger Ab\-h\"an\-gig\-keit
der Test\-hypo\-thesen durch ein von {\sc Shaffer} (1986) vor\-ge\-schla\-genes
Verfahren ver\-bessern l\"a\ss t, und wie die Verfahren zu
modi\-fi\-zieren sind, wenn eine der Test\-hypo\-thesen eine
Global\-hypo\-these ist.

\ 

    En la kursoj pri aplika statistiko, kiuj i\^gas devigaj en pli kaj pli
da universitat\-nivelaj studadoj, plej\-ofte la proced\-maniero de la
konkluda sta\-tistiko estas pre\-zentata jene : Dum scienca esploro oni
ekhavas supozon pri iu fakto. Tiun supozon oni trans\-formas en statistikan
hipotezo-paron, konsistanta el la test-hipotezo $H_0$, kiun oni provos
mal\-pruvi, kaj la alternativ\-hipotezo $H_1$, kiun oni akceptos, se
$H_0$ fakte mal\-akceptendas. Oni difinas la populacion, por kiu validu la
akirota rezulto, kaj elektas la teston por $H_0$. El la populacio oni
prenas aleatoran specimenon, el \^gi per mezurado a\u{u} nombrado oni
akiras nombrojn, kiuj konsistigas aleatoran samplon. Per tiu samplo oni
kalkulas test-adedon$^*$ kaj el la test-adedo - la mal\-akceptigan
adedon$^*$ por la kon\-cer\-nata $H_0$-$H_1$-paro. Se la mal\-akceptiga
adedo malplias ol la krita$^*$ valoro $\alpha$ (kiu plej ofte egalas al
0.05), tio signifas, ke $H_0$ estu mal\-akceptata. Tia proced\-maniero
certigas, ke la erar\-probablo de unua speco nepre malpliedas$^*$ ol
$\alpha$ ; alivorte : Se $H_0$ estas vera, tiam oni erare malakceptas \^gin
kun probablo $\le \alpha$.

   Por doni etan ekzemplon: Imagu, ke bredisto kreis novan varia\^{\j}on de
tritiko, kaj li volas pruvi, ke \^gi estas pli ta\u{u}ga ol iu \^gis nun
uzata. Li decidas mezuri la ``ta\u{u}gecon'' per la spiko-pezo. \^Car per
statistika testo oni ne povas priju\^gi nefinie mal\-grandan diferencon, li
difinas kritan dife\-rencon $d$ kaj formulas la hipotezo-paron :
\[
%%% H_0 : \mu_{\mbox{nov}} - \mu_{\mbox{kut}} \le d \quad ; \quad
H_0 : \mu_{nov} - \mu_{kut} \le d \quad ; \quad
H_1 : \mu_{nov} - \mu_{kut} >   d \quad ;
\]
kie $\mu_{\mbox{[nov,kut]}}$ estas la ekspekto de la spiko-pezo de la nova
resp. la kutima varia\^{\j}o. La populacio estas fikcia, \^gi egalas la
ne\-finian aron de \^ciuj ima\-geblaj tritiko-plantoj, apartenantaj al unu
el la 2 esplorataj varia\^{\j}oj kaj kreskigitaj en la kondi\^coj difinitaj
per la es\-ploro. La test\-hipotezon oni planas testi per la t-testo. Oni
faras eks\-perimenton, kreskigante la tritiko-plantojn la\u{u} tute
aleatorigita eksperimento-plano kaj prenas tiujn tritikojn kiel specimenon.
Pezante iliajn spikojn, oni akiras nombraron, kiu reprezentas la samplon,
kaj el \^gi oni kalkulas la test-adedon$^*$ $T$. Se $H_0$ estas vera, tiam
\mbox{
$T \sim t(n_{nov} - n_{kut} - 2)$.
}
\^Car temas en nia kazo pri unu\-flanka testo,
kies krita ($H_0$-mal\-akcep\-tiga) regiono kon\-sistas el la supera parto
de la reela akso, la malakceptiga adedo
\[
\mbox{m.a.a.} = 1 - \int_{- \infty}^T
 DF \: [t \, (n_{nov} + n_{kut} - 2)]
 \; (\phi) \; d\phi \:,
\]
kie $DF \: [t(n)]$ estas ls denso-funkciono$^*$ de la t-distribuo kun $n$
liberogradoj.

En \^ci-tiu ekzemplo la procedmaniero tute konformis kun la baza,
konata sta\-tistika metodaro. Beda\u{u}rinde en la praktiko kutime la
situacio estas pli komplika. Plejofte oni ne havas {\bf unu} supozon, testeblan
per {\bf unu} testo, kiu liveras {\bf unu} mal\-akcep\-tigan adedon kaj per tio
ebligas aserton kun precize konata unua-speca erar\-probablo. La \^{\j}us
pri\-parolita bredisto ekzemple ne nur interesi\^gas pri la spiko-pezo, sed
sam\-tempe anka\u{u} pri la gusto, la bak- kaj muel-eblecoj, la rezistoj
kontra\u{u} virusoj, fungoj kaj in\-sektoj ktp. Li do havas tutan
{\bf aron} da supozoj, kiun li trans\-formas en aron da hipo\-tezoj
$H_0^1$ \^gis $H_0^k$, kiuj en \^ci-tiu kazo aspektas inter si
simile, nome
\[
   H_0^j \; : \; \mu_{nov,j} - \mu_{kut,j} \le d_j \quad ; \quad
   H_1^j \; : \; \mu_{nov,j} - \mu_{kut,j} > d_j \quad ; \quad
 j = 1,..,k
\]
 Ni supozu, ke $k$ = 5, kaj ke la testaro liveris la mal\-ak\-ceptigajn
adedojn mon\-tritajn per tabelo 1.

\vspace{2ex}
\begin{small}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\multicolumn{6}{|c|} {\ } \\
\multicolumn{6}{|c|}  {{\bf Tabelo 1}} \\
\multicolumn{6}{|c|} {\ } \\
\hline
      &       & sign.      & rango de & krita limo        & sign. \\
testo & m.a.a & la\u{u} B. &  m.a.a  &   la\u{u} B.H.met. & la\u{u} B.H. \\
\hline
   1 & 0.011 &   &    (2)  &     0.0125  &      +  \\
   2 & 0.062 &   &    (5)  &     0.0500  &        \\
   3 & 0.015 &   &    (3)  &     0.0167  &      +  \\
   4 & 0.040 &   &    (4)  &     0.0250  &           \\
   5 & 0.002 & + &    (1)  &     0.0100  &      +   \\
\hline
\end{tabular}
\end{small}
\vspace{2ex}

   Se oni trans\-formus tiun testar-rezulton en la aserton ``La nova
varia\^{\j}o superas la kutiman mini\-mume la\u{u} kvalitoj 1,3,4 kaj 5 per
la respektivaj kritaj diferencoj'', tiam tiu aserto ne havas la postulitan
erar\-probablon de $\alpha = 0.05$, sed pli grandan. La konata
proced\-maniero ``Mal\-akceptu la test\-hipo\-tezon, se la mal\-ak\-ceptiga
adedo malplias ol~$\alpha$'' validas nur, se aplikata al unu\-nura testo. Se
oni mal\-kritikeme aplikas \^gin al aro de eble multaj hipotezoj, tiam la
erar\-probablo povas facile superi e\^c 50 elcentojn. Oni do nepre bezonas
procedon, kiu garan\-tias la erar\-probablon anka\u{u} por aserto kiu bazas
sur la rezultoj de pluraj testoj, aplikataj al tuta hipotezaro. Tia procedo
nomi\^gas
{\bf multobla test\-procedo}. \^Gi elektas el la aro de testitaj
test\-hipo\-tezoj sub-aron de mal\-ak\-ceptendaj test\-hipo\-tezoj kaj
garantias, ke, kun probablo plieda ol $1-\alpha$,
{\bf neniu} el la mal\-ak\-ceptataj hipotezoj estas vera, do mal\-akceptata
erare. La erar\-probablo ligita al tia test\-pro\-cedo nomi\^gas
{\bf multobla erarprobablo}.

   La grandstila okupi\^go pri la teorio de la multobla testado
komenci\^gis per la fun\-da\-men\-ta publika\^{\j}o de {\sc Gabriel} (1969).
Tre klaran super\-rigardon de la bazaj kon\-ceptoj la\u{u} mate\-ma\-tika
vid\-punkto donas {\sc Sonne\-mann} (1981,1982).

   La plej konata (eble oni diru la malplej malkonata) kaj samtempe plej
simpla el tiuj procedoj estas la Bonferroni-pro\-cedo. \^Gi bazas sur la
jena ne-egala\^{\j}o, publiki\-gita de {\bf Bonferroni} (1936) : Estu
$B_i (i=1,..,k)$ okazoj, kiuj havu la respek\-tivajn probablojn $P(B_i)$.
Tiam por la kuniga\^{\j}oj de la $B_i$, (tio signifas ke okazas $B_1$
{\bf a\u{u}} .. {\bf a\u{u}} $B_k$) validas
\[
P \; ( \bigcup_{j=1}^k \: B_j) \; \le \; \sum_{j=1}^k \: P(B_j)
\]
Tiun lemon oni povas apliki por kon\-strui multoblan test\-procedon :
Estu $B_j$ la okazo : ``$H_0^j$ estas {\bf erare}
malakceptata''. Se ni aplikas al $H_0^j$ teston kun unuobla
erar\-probablo $\alpha/k$, tiam $P(B_j)$ estas a\u{u} egala al $\alpha/k$
(nome se $H_0^j$ estas vera) a\u{u} egala al 0 (se $H_0^j$ estas
mal\-vera, \^car malvera hipo\-tezo ne povas {\bf erare}
mal\-akceptati). Do \^ciu-okaze $P(B_j)$ mal\-pliedas ol $\alpha/k$,
sekve la sumo de la $B_j$ mal\-pliedas ol $\alpha$.

   El tio sekvas, kiamaniere konstrueblas test\-procedo, kiu garantias la
multoblan erar\-probablon $\alpha$ : Oni  mal\-akceptas tiujn
test\-hipo\-tezojn, kiuj li\-ve\-ras mal\-akcep\-tigan adedon malplian al
$\alpha/k$.

   Ni apliku tion al la testrezultaro indikita per tabelo 1 kun la kutima
$\alpha$ de 0.05. Ni malakceptas tiujn test\-hipo\-tezojn, kies
mal\-akcep\-tigaj adedoj mal\-pliedas ol 0.05/5=0.01. \^Ce \^ci-tiu
ekzemplo, ni povas mal\-akcepti nur la 5an hipotezon (vidu vertikalon
``sign(ifika) la\u{u} B(onferroni)'').

   Aplikante la Bonferroni-procedon ni scias, ke la multobla erar\-probablo
restas kontrolita. Sed la metodo tamen havas mal\-avanta\^gon : \^gi estas
sufi\^ce malforta a\u{u} mal\-detek\-tiva$^*$\ : Tio signifas, ke, se iu
test\-hipo\-tezo fakte estas mal\-vera, \^gi tamen ofte ne estas
mal\-akceptata. Tial oni cerbumis pri pli\-bonigoj de la pro\-cedo por havi
la \^sancon pli ofte mal\-akcepti mal\-verajn test\-hipo\-tezojn, kvankam
strikte kontrolante la multoblan erar\-probablon.

   En la jaroj 1977 kaj 1979, la skandinavia statistikisto Holm publikigis
tian pli\-bonigon de la Bonferroni-procedo, kiun oni nun kutime nomas
{\bf Bonferroni-Holm-procedo}. La metodo estas jena : Oni ordigas la
test\-hipotezojn la\u{u} ties mal\-akceptigaj adedoj. En nia ekzemplo
(tabelo 1) $H_0^5$ estas tiu kun la plej malgranda m.a.a. Tiun m.a.a.
oni komparas kun $\alpha/k$, do kun 0.01. Se m.a.a$_5$ estus pli granda, ni
devus fini la teston kaj povus mal\-akcepti neniun test\-hipo\-tezon. Sed
\^car \^gi fakte mal\-pliedas ol 0.01, ni rajtas mal\-akcepti la koncernan
hipotezon kaj da\u{u}rigi la procedon. Nun ni komparas la due plej
mal\-grandan m.a.a. (liverita de testo 1) kun $\alpha/(k-1)$, do kun 0.0125.
\^Car m.a.a.$_1$ $<$ 0.0125, ni rajtas malakcepti anka\u{u} tiun hipotezon
kaj da\u{u}rigi. La sekvan m.a.a ni komparas kun $\alpha/(k-2)$ = 0.0167 kaj
povas malakcepti anka\u{u} $H_0^3$. Poste ni kom\-paras m.a.a.$_4$
kun $\alpha/(k-3)$ = 0.025, kaj \^ci-foje ni konstatas, ke la m.a.a estas tro
granda. Sekve ni devas fini la pro\-cedon \^ci-tie. La fina rezulto de la
Bonferroni-Holm-pro\-cedo estas: La test\-hipotezoj $H_0^1$,
$H_0^3$ kaj $H_0^5$ estas malveraj, kio signifas, ke la nova
tritiko\-varia\^{\j}o superas la kutiman almena\u{u} la\u{u} la kvalitoj 1,
3 kaj 5. Kompare al la simpla Bon\-ferroni-pro\-cedo ni do cer\-tigis du
pluajn dife\-rencojn. Pri la kvalitoj 2 kaj~4~(!) ni povas aserti nenion.

   Se oni priesploras, samkiel en nia priparolita ekzemplo, plurajn
mal\-samajn kvalitojn de du planto-varia\^{\j}oj, tiam la respektivaj
test\-hipo\-tezoj ne estas inter\-ligitaj. Tio signifas, ke por \^ciu ebla
sub-aro de tiu hipo\-tezaro imageblas, ke \^gi entenas nur verajn
hipo\-tezojn. Sed kun ali\-specaj hipo\-tezaroj ofte okazas, ke, se unu
test\-hipo\-tezo estas mal\-vera, el tio sekvas, ke ne \^ciuj aliaj
test\-hipotezoj povas esti veraj samtempe. Ni rigardu la jenan ekzemplon:
Oni volas kompari 4 tritiko-varia\^{\j}ojn la\u{u} unu\-nura kvalito. Por
tion fari oni konstruas la test\-hipotezaron konsistan el $H_0^1$
\^gis $H_0^6$, kiel prezentitaj en tabelo 2 (la tie difinitan
$H_0^g$ ni provizore preter\-atentu).

\vspace{2ex}
\begin{small}
\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|c|c|}
\hline
\multicolumn{7}{|c|} {\ } \\
\multicolumn{7}{|c|}  {{\bf Tabelo 2}} \\
\multicolumn{7}{|c|} {\ } \\
\multicolumn{7}{|c|}  {Ekzemplo por la plibonigita Bonferroni-Holm-procedo} \\
\multicolumn{7}{|c|}  {Komparo de parametroj el 4 populacioj} \\
\multicolumn{7}{|c|} {\ } \\
\multicolumn{7}{|l|} {
$H_0^g \; = \; \bigcap_{j=1}^k \, H_0^j \, : \, \mu_1=\mu_2=\mu_3=\mu_4$  } \\
\multicolumn{7}{|c|} {\ } \\
\hline
      &                   & m.a.a &   &   &                          &     \\
\hline
$H_0^g$ &                 & 0.014 &   & G & m.a.a. $<$ 0.05          &  +  \\
$H_0^1$ & $\mu_1 = \mu_2$ & 0.022 &   &(4)& m.a.a. $>$ 0.05/3=0.0167 &  -  \\
$H_0^2$ & $\mu_1 = \mu_3$ & 0.042 &   &(5)&                          &     \\
$H_0^3$ & $\mu_1 = \mu_4$ & 0.013 &   &(3)& m.a.a. $<$ 0.05/3=0.0167 &  +  \\
$H_0^4$ & $\mu_2 = \mu_3$ & 0.151 &   &(6)&                          &     \\
$H_0^5$ & $\mu_2 = \mu_4$ & 0.001 & + &(1)& m.a.a. $<$ 0.05/3=0.0167 &  +  \\
$H_0^6$ & $\mu_3 = \mu_4$ & 0.009 & + &(2)& m.a.a. $<$ 0.05/3=0.0167 &  +  \\
\hline
\end{tabular}
\end{small}
\vspace{2ex}


Se en tiu-\^ci kazo $H_0^5$d estas malvera, tiam ne plu povas
esti, ke $H_0^1$ kaj samtempe $H_0^3$ (a\u{u} $H_0^4$ kaj
samtempe $H_0^6$) veras. Por pli\-fortigi la
Bon\-ferroni-Holm-procedon en la kazo de tiaj inter\-ligitaj
test\-hipo\-tezoj, oni povas apliki metodon publikigita de
{\sc Shaffer} (1986)\ : Unue oni komparas la plej mal\-grandan
mal\-akceptigan adedon kun $\alpha/k$.
Se la koncerna m.a.a estas pli malgranda kaj ni sekve rajtas da\u{u}rigi,
ni komparas la sekvan m.a.a kun $\alpha$ dividite per la nombro de hipotezoj,
kiuj maksimume povas esti veraj se la jam mal\-akceptita hipotezo
mal\-veras. En nia kazo, se $H_0^5$ estas malvera, maksimume 3 el la
aliaj hipotezoj povas esti samtempe veraj. Tial oni komparas tiun m.a.a kun
$\alpha/3$ = 0.0167 kaj malakceptas la koncernan hipotezon. Tiam oni komparas
la sekvan m.a.a anka\u{u} kun $\alpha/3$, \^car, e\^c se $H_0^5$ kaj
$H_0^6$ estas malveraj, 3 el la aliaj hipotezoj povus esti veraj.
\^Ci-foje ni rajtas mal\-akcepti anka\u{u} $H_0^3$. La sekvan
hipotezon ni ne plu povas mal\-akcepti. Finfine oni ricevas la kunigitan
aserton : ``$\mu_4$ mal\-samas al \^ciuj aliaj $\mu$'oj''. Oni facile
vidas, ke per la ne\-plibonigita Bon\-ferroni-Holm-metodo ni rajtintus
mal\-akcepti nur $H_0^5$ kaj $H_0^6$, aplikante la simplan
Bon\-ferroni-procedon e\^c nur $H_0^5$.

   Beda\u{u}rinde anka\u{u} \^ci-tiu metodo povas liveri
mal\-kon\-tentigajn rezultojn. \^Ciu-okaze oni ja devas kompari la plej
mal\-grandan mal\-akceptigan adedon kun $\alpha$ dividite per la nombro de la
hipotezoj kaj tuj fini la pro\-cedon, se \^gi estas pli granda.  Kelkfoje
oni ekhavas tre multajn test\-hipotezojn. Se oni ekzemple komparas la
parametrojn el 10 sub-populacioj kaj volas kompari \^ciun parametron kun
\^ciu alia, oni ricevas 45 test\-hipotezojn. Por havi multoblan
erar\-probablon de 5 elcentoj, oni devas kompari la plej mal\-grandan m.a.a.
kun 0.0011. E\^c se fakte ekzistas diferencoj inter la parametroj, povas
facile esti, ke tamen neniu el la mal\-ak\-cep\-tigaj adedoj estas tiom
mal\-granda. Sekve oni ricevus el la multobla test\-procedo e\^c ne tiun
rezulton, kiun oni el la aplikado de la simpla varianc\-analizo supo\-zeble
ekhavus, nome ke ekzistas diferencoj inter la parametroj, kvankam oni ne
scias inter kiuj.

   Bon\^sance oni povas kombini \^ciun el la priparolitaj procedoj kun
anta\u{u}\-metita testo de la {\bf globala}$^*$ test\-hipotezo, kiu
supozas, ke entute ne estas diferencoj. En tabelo 2 estas supre difinita
tiu globala hipotezo $H_0^g$. Oni povus testi \^gin ekzemple per la
varianc\-analizo. Se ekzistas en la hipotezaro tia globala hipotezo, oni
povas unue kompari ties mal\-akceptigan adedon  kun la plena $\alpha$. Se tiu
testo estus nesignifika, ni devus tuj fini la procedon. En nia kazo la
globala testo liveras signifikan rezulton, do ni mal\-akceptas la globalan
test\-hipotezon kaj da\u{u}rigas. Ni nun komparas la plej mal\-grandan
m.a.a. kun $\alpha/3$; \^car post rifuzo de la globala hipotezo maksimume 3
el la  aliaj povas samtempe esti veraj. En \^ci-tiu ekzemplo la fina
rezulto estas la sama kiel anta\u{u}e, sed ofte okazas, ke tiu kombina
testo rezulti\^gas pli forta, tio estas pli detektiva ol la nekombina.

   En la kazo de komparo de 3 sub-populacioj ni ricevas la interesan
rezulton, ke, se la globala hipotezo estas malakceptita, ni povas plenumi
\^ciun el la 3 simplaj testoj kun la plena erar\-probablo $\alpha$, \^car se
$H_0^g$ estas mal\-vera, tiam maksimume unu el la simplaj hipotezoj
povas ankora\u{u} esti vera.

   Tiuj testprocedoj, kiujn mi estas pri\-parolinta, estas ekzempligitaj
per hipotezoj pri la egaleco de parametroj; kaj mi fojfoje menciis ke oni
povas testi la globalan hipotezon per variancanalizo kaj la simplajn
hipotezojn per t-testoj. Sed mi volas tre strikte sub\-streki, ke la
pri\-parolitaj test\-procedoj estas neniel limigitaj al tiu modelo. Oni
povas apliki ilin al iu ajn aro da hipotezoj rilatantaj al iu ajn
statistika modelo kaj testitaj per iu ajn testo, \^cu Wilcoxon,
Kolmogoroff-Smirnoff ktp. Fakte ekzistas anka\u{u} multoblaj test\-procedoj
specialaj por specifaj modeloj, sed pri tiuj mi ne volas okupi\^gi en
\^ci-tiu publika\^{\j}o.

   Finfine mi volas diskuti kelkajn eblajn rezultojn de tia multobla
test\-procedo. Supozu ke ni havas la hipotezaron prezen\-titan en tabelo 3.
Tie la mal\-akceptitaj test\-hipo\-tezoj estas indi\-kitaj per krucoj.

\vspace{2ex}
\begin{small}
\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|c|c|}
\hline
\multicolumn{7}{|c|} {\ } \\
\multicolumn{7}{|c|}  {{\bf Tabelo 3}} \\
\multicolumn{7}{|c|} {\ } \\
\multicolumn{7}{|c|}  {Eblaj rezultoj de multobla testprocedo} \\
\multicolumn{7}{|c|}  {\^ce komparo de parametroj el 3 populacioj} \\
\multicolumn{7}{|c|} {\ } \\
\hline
 & & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\hline
 & & & & & & \\
$H_0^g$ : & $\mu_1 = \mu_2 = \mu_3$ & - & + & + & + & +  \\
 & & & & & & \\
$H_0^1$ : & $\mu_1 = \mu_2$         & + & + & + & + & -  \\
$H_0^2$ : & $\mu_1 = \mu_3$         & - & + & + & - & -  \\
$H_0^3$ : & $\mu_2 = \mu_3$         & - & + & - & - & -  \\
          &                         & mal-  & & & &  \\
          &                         & kohera& & & &  \\
\hline
\end{tabular}
\end{small}
\vspace{2ex}

  Ni rigardu unue la rezulto-kolumnon 1. Se ni ricevus tiun rezulton, ni
devus diri, ke $\mu_1 \ne \mu_2$, sed ke tamen eblas ke
$\mu_1=\mu_2=\mu_3$. Tia sen\-senca, inter si kontra\u{u}\-dira
rezulto de multobla test\-procedo nomi\^gas {\bf malkohera}.
Oni nepre devas garantii per la \^gusta konstruo de la
test\-procedo, ke mal\-kohera rezulto ne povas okazi. Tio eblas ekzemple,
se oni anta\u{u}metas la globalan teston al la aliaj, kiel mi \^{\j}us
deskriptis$^*$. Testo, kiu la\u{u} sia strukturo neni-okaze povas liveri
tian sensencan rezulton, nomi\^gas {\bf kohera}$^*$.

   Tamen estas neeviteble ke anka\u{u} kohera procedo povas liveri rezulton
kiu ne tute kontentigas. La rezultoj de la kolumnoj 2 kaj 3 estas tre bone
inter\-preteblaj: Rezulto 2 signifas ke \^ciuj parametroj malsamas; kaj
rezulto 3, ke $\mu_1 \ne \mu_2$ kaj $\mu_1 \ne \mu_3$. Malpli
kontentigas la rezulto-kolumno 4 : Ni ekscias, ke $\mu_1 \ne \mu_2$. El
tio sekvas, ke a\u{u} $\mu_1 \ne \mu_3$ a\u{u} $\mu_2 \ne \mu_3$. Sed
ni ne povas decidi, kiu el tiuj du hipotezoj malveras, kvankam ni scias ke
malveras almena\u{u} unu el ili. E\^c pli mal\-kontentiga estas situacio
prezentita en kolumno 5: Ni devas konkludi ke ne \^ciuj $\mu$'oj estas
egalaj, sed ni ne scias kiuj el ili malsamas. Beda\u{u}\-rinde tiaj
rezultoj povas okazi, kaj ne ekzistas eblo por eviti ilin.

   En la aplika statistiko estas ne la escepto, sed la regulo, ke aserto
bazas sur pluraj, kelkfoje e\^c tre multaj testoj. Pensu ekzemple pri
medicinaj esploroj pri la \^cef\-efikoj kaj la krom\-efikoj de kura\-ciloj,
kiujn oni realigas \^ce pluraj hospitaloj kaj krome anka\u{u} pluraj
best\-esplorejoj, kaj dum kiuj oni mezuras multajn fiziologiajn grandojn.
La samo validas \^ce epi\-demio\-logiaj enketoj, \^cu rilate homajn
mal\-sanojn, \^cu rilate la arbar\-mortadon. En \^ciu kazo oni testas
neniam unusolan hipotezon sed hipo\-tezaron por ricevi statistike
certigitan aserton. Beda\u{u}\-rinde \^gis nun en la praktiko oni malofte
aplikas la adekvatajn procedojn, kaj mi esperas ke mi per mia prelego
iomete kon\-tribuis al ties pli vasta disvasti\^go.

\pagebreak
\parindent0em
{\bf Glosaro}

\begin{description}

\item[adedo] : stokasta variablo a\u{u} nombro kalkulita el samplo
a\u{u} populacio, ekz. avera\^go, varianco, F-test-adedo (el la
arabezo$^*$)

\item[deskripti] : prezenti iun fakton tiamaniere, ke la adresito \^gin
komprenu (Propono de Wells). La\u{u} PIV tio estus ``priskribi'', sed tiu
vorto estas erariga.

\item[detektiva] : kapabla kun granda probablo malakceptigi mal\-verajn
test\-hipo\-tezojn

\item[-ez-] : ne-oficiala sufikso por indiki lingvon

\item[funkciono] : 3-a signifo de ``funkcio'' en PIV
(bildigo en aron de nombroj)  \ (propono fare de mi)

\item[globala] testhipotezo : testhipotezo, el kies vereco sekvas, ke
anka\u{u} \^ciuj aliaj test\-hipo\-tezoj de la kon\-cerna hipo\-tezaro
estas veraj

\item[kohera] testprocedo : testprocedo, kiu certigas, ke, se $H_0^i
\Rightarrow H_0^j$ kaj $H_0^i$ mal\-ak\-cep\-tatas, tiam
mal\-ak\-cep\-tatas anka\u{u} $H_0^j$.

\item[krita nombro] : nombro, je kies transpa\^so \^san\^gi\^gas grava eco
(PIV suppl. 1987)

\item[(mal)pliedi] : $a$ (mal)pliedas ol $b$ signifas, ke $a \le b$
(resp. $a \ge b$) (propono de C.O.Kiselman)

\item[malakceptiga adedo] : Probablo por tio, ke oni akiras
test-adedon$^*$, kiu sam\-grade a\u{u} e\^c pli  kontra\u{u}as $H_0$'on,
samtempe favorante $H_1$'on, kiel la akirita test-adedo (kon\-di\^ce ke
$H_0$ veras). Tiu adedo en la etno\-lingva literaturo kutime, sed
mal\-precize nomatas ``p-valoro''
(germane: ``\"Uberschreitungswahrscheinlichkeit'').

\end{description}

\ 

{\bf Literaturo}

\begin{description}

\item[Bonferroni,C.E.], 1936 : Theoria statistica classi e calcolo delle
probabilit\'a. \\
Pubbl.R.Int.Super.Sci.Econ.Comm. Firenze 8 : 1-62.

\item[Gabriel,K.R.], 1969 : Simultaneous test procedures - some theory of
multiple comparisons. Ann.Math.Statist. 40, 224-250.

\item[Holm,S.], 1977 : Sequentially rejective multiple test procedures.\\
Statistical research report 1977-1, University of Umea, Sweden

\item[Holm,S.], 1979 : A simple sequentially rejective multiple test
procedure.\\
Scand.J.Statist. 6, 65-70.

\item[Shaffer,J.P.], 1986 : Modified sequentially rejective multiple test
procedures. \\
J.Am.Statist.Assoc. 81, 826-831.

\item[Sonnemann,E.], 1981 : Tests zum multiplen Niveau $\alpha$. Simultane
Hypo\-thesen\-pr\"ufungen; Tagungsbericht der Region \"Osterreich-Schweiz
der Inter\-natio\-nalen Biometrischen Gesellschaft Bad Ischl (A) 1981

\item[Sonnemann,E.], 1982 : Allgemeine L\"osungen multipler Testprobleme.\\
EDV Med. Biol. 13, 120-128.

\end{description}

{\bf Dankesprimo} \\
Pro valoraj priterminologiaj diskutoj mi dankas al kolegoj\\
\hspace*{2cm} Fischer\ (M\"unster), F\"o\ss meier\ (M\"unchen),
Holdgr\"un\ (G\"ottingen),\\
\hspace*{2cm} Kiselman\ (Uppsala) kaj Minnaja\ (Padova)

{\bf Adreso de la a\u{u}toro :} \\
OProf. H.D. Quednau dr., Forstwiss. Fakult\"at der LMU, \\
Hohenbachernstr. 22, D-85354 Freising \\
email : u62b301@sun1.lrz-muenchen.de
\end{document}

