
\documentstyle[twoside,12pt]{article}
\setlength{\textwidth}{14.9cm}
\setlength{\textheight}{20.5cm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-1cm}
\addtolength{\evensidemargin}{-2cm}
\def\Lin{\mathop{\rm Lin}\nolimits}
\def\Ker{\mathop{\rm Ker}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\re{\mathop{\rm re}\nolimits}
\def\im{\mathop{\rm im}\nolimits}

% Nun sekvas la datenaro ``espo.sty'', kiun mi enmetis. Por ke super 
% la enhavtabelo aperu la vorto "Enhavo" anstata^u "Contents", elprenu 
% la venontajn 50 liniojn kaj savu ilin sub la nomo "espo.sty", aktivigu la 
% unuajn du liniojn de la "malangligoj" per forigo de la "%"-oj kaj 
% aldonu tute supre "espo," inter la angulaj krampoj  post "\documentstyle". 
% 
% To produce an accented c, type ^c.
% the uparrow is also used for the breve,
% to keep finger-training down.
%
\def\^#1{\ifx#1u\u u%  ^u gives breve on u
	   \else\ifx#1U\u U%  and ^u gives one on U (rare)
	    \else\ifx#1h{\rlap{\accent 94{}}h}%^h mustn't be too tall
             \else\ifx#1j{\accent 94 \j}%  ^j requires undotted j
               \else{\accent 94 #1}\fi\fi\fi\fi} % Normal circumflexing
\let\superscript=^	% Save current binding of ^
\catcode`\^=\active	% ^ now active
\def^{\ifmmode\let\ACC=\superscript\else\let\ACC=\^\fi\ACC} % Does auto-accent iff not math
%
% Some de-anglicizations.  The input is the same, however,
% to preserve the integrity of the documentation.
%
%\def\tableofcontents{\section*{Enhavo\@mkboth{ENHAVO}{ENHAVO}}
% \@starttoc{toc}}
\def\listoffigures{\section*{Listo de Figuroj\@mkboth
   {LISTO DE FIGUROJ}{LISTO DE FIGUROJ}}\@starttoc{lof}}
\def\listoftables{\section*{Listo de Tabeloj\@mkboth
   {LISTO DE TABELOJ}{LISTO DE TABELOJ}}\@starttoc{lot}}
\def\thebibliography#1{\section*{Literaturo\@mkboth
  {LITERATURO}{LITERATURO}}\list
  {[\arabic{enumi}]}{\settowidth\labelwidth{[#1]}\leftmargin\labelwidth
    \advance\leftmargin\labelsep
    \usecounter{enumi}}
    \def\newblock{\hskip .11em plus .33em minus -.07em}
    \sloppy
    \sfcode`\.=1000\relax}
\def\theindex{\@restonecoltrue\if@twocolumn\@restonecolfalse\fi
\columnseprule \z@
\columnsep 35pt\twocolumn[\section*{Indekso}]
    \@mkboth{INDEKSO}{INDEKSO}\thispagestyle{plain}\parindent\z@
    \parskip\z@ plus .3pt\relax\let\item\@idxitem}
\def\fnum@figure{Figuro \thefigure}
\def\fnum@table{Tabelo \thetable}
\def\abstract{\if@twocolumn
\section*{Resumo}
\else \small 
\begin{center}
{\bf Resumo\vspace{-.5em}\vspace{0pt}} 
\end{center}
\quotation 
\fi}

\def\today{la \number\day a de \ifcase\month\or
  januaro\or februaro\or marto\or aprilo\or majo\or junio\or
  julio\or a^ugusto\or septembro\or oktobro\or novembro\or decembro\fi,\space
  \number\year}

\begin{document}
\begin{center}

\thispagestyle{empty}

{\Large Ulrich Matthias}

\vspace{5em}

\begin{Huge}
\begin{bf}

FUNDAMENTOJ

DE

LINEARA ALGEBRO

\end{bf}
\end{Huge}

\vspace{16em} 

{\Large Eldonita de la a^utoro} 

\vspace{0.3em}
{\Large Neckarhausen, 1995}

\end{center}

\newpage

\renewcommand{\baselinestretch}{1.08}
\tiny\normalsize
\thispagestyle{empty}

\tableofcontents

\vspace{1.5em}
\noindent
{\sl Pro multaj valoraj konsiloj kaj korektoj la a^utoro kore dankas al:
Edmund Grimley-Evans, Konrad Hinsen, Horst Holdgr\"un, Jim Kingdon, 
Christer Kiselman kaj Marko Rauhamaa.}

\vspace{1em}
\noindent \rule{\textwidth}{1pt}
\noindent Matthias, Ulrich: Fundamentoj de lineara algebro. Unua eldono,
la a^utoro, oktobro 1995. Adreso de la a^utoro: 
Frhr.-v.-Drais-Str. 53, 68535 Neckarhausen, Germanio; retpo^sto: 
umatthia@ix.urz.uni-heidelberg.de 

\vspace{-0.43em}
\noindent \rule{\textwidth}{1pt}

\newpage

\noindent
{\Large \bf Anta^uparolo}

\vspace{0.45em}
\noindent 
``Inter la esperantistoj sin trovas proporcie pli da matematikistoj 
ol da filologoj'', konstatis la {\em Enciklopedio de Esperanto} jam en 
1934. Multaj Esperanto-pioniroj estis matematikistoj, kaj same hodia^u,
kiam junaj esperantistoj konati^gas, ili ofte konstatas, ke mirige 
multaj el ili studas, studis a^u intencas studi matematikon.

Tamen la matematika publikigado en Esperanto neniam vere viglis. La
{\em Katalogo 1994} de la Libroservo de UEA ofertas nur 10 tiajn titolojn,
kaj sur la bretoj de la Germana Esperanto-Biblioteko en Aalen sufi^cas
30-centimetra spaco por la kolektitaj matematikaj verkoj. Preska^u tute
mankas en nia lingvo modernaj enkondukoj en la plej gravajn matematikajn
bran^cojn. Tio estas tre beda^urinda, ^car jam de almena^u du jardekoj 
Esperanto-aktivuloj precipe el Irano, ^Cinio kaj aliaj aziaj landoj
forte pledas por pli abunda scienca publikigado en Esperanto. Ankora^u nun 
mi memoras la vortojn de Saeed Farani el Pakistano, kiu prelegis en la
Internacia Junulara Kongreso de la jubilea jaro 1987 en Krakovo pri 
``Esperanto kaj la tria mondo''. ``Se vi e^uropaj esperantistoj volas
helpi al ni'', emfazis Farani, ``tiam ne verku a^u traduku beletron, sed
sciencajn publika^jojn. E^c se vi tradukas nur kelkajn pa^gojn el 
matematika faklibro, tio utilas al ni pli ol tuta romano...''

Malfrue, nur 8 jarojn poste, mi akceptis lian instigon, verkante tiun 
^ci modestan bro^suron, kiu entenas proksimume tion, kion germanaj
studentoj pri matematiko a^u fiziko lernas en la unuaj ses semajnoj de sia 
studado en la lekciaro {\em lineara algebro}. Mi esperas, ke en la ne tro  
malproksima estonteco mi trovos tempon por pliampleksigi ^gin kaj por 
verki similan bro^sureton pri la alia grava matematika bran^co, pri kiu 
studentoj okupi^gas ekde sia unua semestro, la {\em analitiko}. Mi 
^gojus, se tiu ^ci bro^suro vere estus uzata anka^u en la tria mondo.
Estas permesite multobligi ^gin en papera a^u elektronika formo por 
nekomercaj celoj. 

Kiel celgrupon mi imagas unuavice gejunulojn ^cie en la mondo, 
kiuj ^jus komencis a^u balda^u komencos studi matematikon a^u parencan
fakon. Enketo de Germana Esperanto-Asocio montris, ke almena^u en mia lando 
homoj eklernas Esperanton precipe en a^go de 18 ^gis 22 jaroj. Ne malmultaj
el ili proksimume samtempe konati^gas kun la universitatnivela matematiko.  
Al ili tiu ^ci bro^suro ebligas profundigi siajn sciojn pri Esperanto kaj
pri matematiko samtempe.

Fine mi rimarkigu, ke mi verkis tiun ^ci bro^suron ne laste pro tio, 
ke tio estis plezuro por mi. Esperanto same kiel la matematiko  
^ciam ravis kaj plu ravas min pro sia klareco kaj logikeco. Estas 
agrable vidi ilin kune. Por mi la 
publikigado en Esperanto krome donas ion, kion hodia^u la publikigado de
matematika verko en nacia lingvo ne ^ciam povas doni - la senton 
fari ion utilan al la homaro.
\nopagebreak[4]
\vspace{-0.2em} 
\begin{flushright}
{\em Ulrich Matthias}   
\end{flushright} 


\section{Enkonduko}

En lernejoj oni instruas, ke {\em vektoro} estas ``io, kio havas direkton 
kaj longon''. Oni imagas la vektorojn kiel sagojn. En la universitatnivela
matematiko oni uzas alian, pli abstraktan difinon: Vektoro estas elemento
de vektorspaco. Kompreneble per tio la problemo difini vektoron redukti^gis
nur je la problemo difini vektorspacon. Montri^gas, ke tiu ^ci difino fakte
signifas, ke vektoroj estas matematikaj objektoj, kiuj lige kun du operacioj,
la adicio kaj la multipliko per ``skalaroj'', plenumas certajn regulojn,
kiujn oni nomas ``aksiomoj''. Nur en kelkaj tre specialaj kazoj oni vere 
povas imagi la vektorojn kiel sagojn.

La malfacila^joj de multaj studentoj kompreni lekcion pri {\em lineara algebro} 
rezultas el la granda abstrakteco kaj ^generaleco de ^giaj difinoj kaj 
teoremoj. Oni ne tuj vidas la sencon starigi tian abstraktan teorion, 
kaj tio malpliigas la emon kompreni ^gin. Studkomencanto eble 
interesi^gas pri la solvoj de lineara ekvaciaro kun reelaj 
variabloj kaj koeficientoj, sed por tio malpli ^generala teorio sufi^cus.
La plej multaj aliaj problemoj, pri kiuj okupi^gas la lineara algebro,
aspektas iom artefarite. Ilia graveco montri^gos nur poste dum plua 
studado. Ekzemple vektoroj, kiujn oni ne povas imagi simple kiel sagojn,
estas tre utilaj en la teorio de la Furieraj serioj. Tiu ^ci teorio pri 
la elvolvo de periodaj funkcioj la^u la funkcioj $\sin kx$ kaj $\cos kx$
($k \in {\bf Z}$) fari^gas esence pli eleganta kaj pli bone travidebla 
kiam oni konsideras ``vektorspacon'' de integreblaj funkcioj kaj 
aplikas rezultojn de la lineara algebro.

La leganto estas invitita simple kompreni la difinojn, rimarkojn, 
konkludojn, teoremojn kaj korolariojn, e^c se li a^u ^si ankora^u 
ne plene komprenas, por kio tio utilas.   


\section{Aroj kaj bildigoj}

\subsection{Aroj}

La fondinto de la aroteorio, Georg Cantor, klarigis aron kiel ``kunigon 
de certaj distingitaj objektoj de nia percepto a^u pensado al tuta^jo''. 
Pli preciza enkonduko de tiu ^ci termino 
ne estas bezonata en la lineara algebro.

{\em Finiajn} arojn ni povas skribi en la formo $X=\{x_{1}, \ldots, x_{n}\}$.
La plej simpla ekzemplo de {\em nefinia} aro estas ${\bf N}=
\{0,1,2,\ldots\}$, la 
aro de la {\em naturaj nombroj}. Pliaj ekzemploj estas 
${\bf Z}=\{0,1,-1,2,-2,\ldots \}$, la aro de la {\em entjeroj}, 
kaj ${\bf Q}=\{\frac{p}{q}: p,q\in {\bf Z}$ kaj $q\ne 0\}$,
la aro de la {\em racionalaj nombroj}.  
La aron ${\bf R}$ de la {\em reelaj nombroj} la {\em 
EK-vortaro de matematikaj terminoj} enkondukas jene:

\begin{quote}
Sur la aro $F$ de {\em ko^siaj vicoj} de racionalaj nombroj oni enkonduku la 
ekvivalentrilaton $R$ difinitan per $(x_{i})R(y_{i}) \Leftrightarrow \lim_{i 
\to \infty}(x_{i}-y_{i})=0$. La {\em kvocientaro} $F/R$ estas la aro de la
reelaj nombroj kiu faras korpon ${\bf R}$.  
\end{quote}

Bon^sance ne necesas kompreni tion por okupi^gi pri lineara algebro. 
Sufi^cas imagi ${\bf R}$ ekzemple kiel aron de ``^ciuj'' 
nombroj, kiuj trovi^gas sur rekto tra la entjeroj (a^u tra la racionalaj 
nombroj).

\newtheorem{teo}{Teoremo}[subsection]
\newtheorem{dif}[teo]{Difino}
\newtheorem{rim}[teo]{Rimarko}
\newtheorem{kor}[teo]{Korolario}

\begin{dif}
Se $X$ kaj $Y$ estas aroj, ni difinas
\begin{itemize}
\item
la {\em intersekcon} $X\cap Y$ per $X\cap Y := \{x: x\in X$ {\em kaj} 
$x\in Y\}$,
\item
la {\em kuniga^jon} $X \cup Y$ per $X \cup Y := \{x: x\in X$ {\em a^u} 
$x \in Y\}$,
\item
la {\em diferencon} $X \backslash Y$ per $X \backslash Y := \{x\in X: 
x\not\in Y\}$,
\item
la {\em kartezian produton} $X \times Y$ per $X \times Y := \{(x,y):
x\in X$ {\em kaj} $y \in Y\}$.
\end{itemize}

La kartezia produto de $n$ faktoroj estas aro de $n$-opoj:
\begin{displaymath}
X_{1}\times \ldots \times X_{n} := \{(x_{1}, \ldots, x_{n}): x_{1} \in X_{1},
\ldots, x_{n} \in X_{n}\}
\end{displaymath}

$X$ nomi^gas {\em subaro} de $Y$ se $x \in X \Rightarrow x\in Y$, t.e. se
^ciu elemento de $X$ estas entenata anka^u en $Y$. Oni skribas tiam $X 
\subset Y$.

\end{dif}

\subsection{Bildigoj}

Ni komencas tiun ^ci paragrafon per abstrakta, formala difino, kiu tamen 
rapide fari^gas travidebla. 
\begin{dif}
Subaro $F$ de la kartezia produto $X \times Y$ de du aroj $X$ kaj $Y$ 
nomi^gas {\em bildigo} se por ^ciu $x \in X$ ekzistas unu kaj nur unu
$y \in Y$ tiel ke $(x,y) \in F$.      
\end{dif}
Anstata^u $(x,y) \in F$ oni skribas anka^u $y=F(x)$. Bildigo $F$ do 
atribuas al ^ciu $x \in X$ unu kaj nur unu elementon $F(x) \in Y$. Oni skribas
\begin{displaymath}
\begin{array}{llll}
F: & X & \rightarrow & Y\\
  & x & \mapsto & y
\end{array}
\end{displaymath}

\noindent
$y$ nomi^gas la {\em bildo} de $x$ per la bildigo $F$, dum $x$ 
nomi^gas {\em malbildo} de $y$. La bildo de aro $X$ per $F$ estas
$F(X):=\{f(x):x \in X\}$. 

\begin{dif}
Estu $F: X \rightarrow Y$ bildigo. $F$ nomi^gas
\begin{itemize}
\item
{\em surjekcia}, se $F(X) = Y$, t.e. se por ^ciu $y \in Y$ ekzistas {\em 
almena^u unu} malbildo $x$ kun $F(x)=y$.
\item
{\em enjekcia}, se $F(x)=F(x') \Rightarrow x = x'$, t.e. se por ^ciu 
$y \in Y$ ekzistas {\em maksimume unu} malbildo $x$ kun $F(x)=y$. 
\item
{\em bijekcia}, se ^gi estas surjekcia kaj enjekcia, t.e. se por ^ciu
$y \in Y$ ekzistas {\em unu kaj nur unu} malbildo $x$ kun $F(x)=y$.
\end{itemize}
\end{dif}

Evidente ^ciu bijekcia bildigo estas {\em inversigebla}. Tio signifas, ke
se $F$ estas bijekcia ni povas difini inversan bildigon $F^{-1}: 
Y \rightarrow X$ per $y \rightarrow F^{-1}(y)$, kie $F^{-1}(y)$ estas la
(ununura) malbildo de $y$ per $F$. 
  
\section{Grupoj kaj korpoj}

\subsection{Grupoj}

\begin{dif} 
{\em Grupo} estas paro $(G,\cdot)$, konsistanta el aro $G$ kaj operacio
\begin{displaymath} 
\begin{array}{llll}
\cdot : & G \times G & \rightarrow & G \\
      & (a,b) &      \mapsto & (a \cdot b)
\end{array}
\end{displaymath}

tiel ke validas la sekvaj aksiomoj:
\end{dif}

\newcounter{sek0}
\begin{list}{G \arabic{sek0} \hfill}{\usecounter{sek0}\labelwidth2em}
\item
$(a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b \cdot c)$ por ^ciuj $a,b,c \in G$ \hspace{1em} 
(aksiomo de asocieco)
\item
Ekzistas elemento $e \in G$ tiel ke
 
$e \cdot a =a$ {\em por ^ciuj} $a \in G$ \hspace{1em} 
    (ekzisto de ne^utrala elemento)
\item
Por ^ciu elemento $a \in G$ ekzistas elemento $a' \in G$ tiel ke 
      $a' \cdot a = e$

    (ekzisto de inversaj elementoj)
\end{list}


\noindent
{\em Grupo nomi^gas} abela {\em a^u} komuta {\em se} 
\vspace{-0.5em}
\begin{center}
$a \cdot b = b \cdot a$ por ^ciuj $a,b \in G$
\end{center}
\vspace{-0.9em}
(aksiomo de komuteco).


Anstata^u $(G, \cdot)$ ni nomas anka^u $G$ grupo. Anstata^u $a \cdot b$ ni ofte 
skribas $ab$. 

\subsubsection*{Ekzemploj de grupoj}
\begin{enumerate}
\item
$({\bf Z}, +)$, la aro de la entjeroj kun la adicio kiel operacio, estas abela
grupo. La ne^utrala elemento estas 0; la inversa elemento de $n \in {\bf Z}$ 
estas $-n \in {\bf Z}$. 

Same anka^u $({\bf Q}, +)$ kaj $({\bf R}, +)$, la aroj de la racionalaj 
kaj la reelaj nombroj kun la adicio estas abelaj grupoj. 

Kontra^ue $({\bf N}, +)$, la aro de la naturaj nombroj kun la 
adicio, ne estas
grupo, ^car por $a\in {\bf N} \backslash \{0\}$ la aksiomo G 3 
ne estas plenumita.
\item
$({\bf R} \backslash \{0\}, \cdot)$ estas abela grupo. La 
ne^utrala
elemento estas 1, kaj la inversa elemento de $a \in {\bf R} 
\backslash \{0\}$ estas $\frac{1}{a}$. 

Sed $({\bf R}, \cdot)$ ne estas grupo, ^car por la elemento $0 \in 
{\bf R}$ ne ekzistas inversa elemento. 

\item
Estu $M$ nemalplena aro kaj $S(M)$ la aro de la permutoj de $M$, t.e. de
la bijekciaj bildigoj de $M$ sur ^gin mem. Ni difinas en $S(M)$ operacion
$\cdot$ per sinsekva aplikado de la permutoj:

Por $\sigma$, $\tau$ estu $\sigma \cdot \tau$ la bildigo
\begin{displaymath}
(\sigma \cdot \tau) (x) = \sigma (\tau (x)) \mbox{ por ^ciuj } x \in M.
\end{displaymath}

Tiam $\sigma \cdot \tau$ estas {\em bijekcia} bildigo de $M$ sur ^gin mem.
Ni montras, ke $(S(M), \cdot)$ estas grupo:

Ne^utrala elemento estas la {\em identa} bildigo $id_{M}: x \rightarrow x 
\mbox{ por ^ciu } x \in M$. La inversaj elementoj ekzistas, ^car bijekciaj 
bildigoj estas inversigeblaj. La aksiomo de asocieco validas pro 
\begin{displaymath}
((\sigma \cdot \tau) \cdot \rho ) (x) = (\sigma \cdot \tau) (\rho (x)) 
= \sigma (\tau (\rho(x))) = \sigma((\tau \cdot \rho) (x)) = (\sigma \cdot 
(\tau \cdot \rho))(x)
\end{displaymath}

^Generale tiu ^ci grupo ne estas abela, kiel montras la sekva ekzemplo
sur la aro $M=\{0,1,2\}$:
 
\begin{displaymath}
\sigma \cdot \tau = \left[ \begin{array}{ccc}
 0 & 1 & 2 \\
 1 & 2 & 0 \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{ccc}
 0 & 1 & 2 \\
 0 & 2 & 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc}
 0 & 1 & 2 \\
 1 & 0 & 2 \end{array} \right] , 
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\tau \cdot \sigma = \left[ \begin{array}{ccc}
 0 & 1 & 2 \\
 0 & 2 & 1 \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{ccc}
 0 & 1 & 2 \\
 1 & 2 & 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc}
 0 & 1 & 2 \\
 2 & 1 & 0 \end{array} \right] , 
\end{displaymath}
kie la subaj elementoj estas la bildoj de la supraj. Notu, ke ni 
aplikas unue la {\em dekstran} permuton. 
\end{enumerate}
 
\subsubsection*{Konkludoj el la grupaj aksiomoj}

\begin{rim} El la grupaj aksiomoj ni konkludas: \end{rim}
\newcounter{sek}
\begin{list}{(\roman{sek})\hfill}{\usecounter{sek}\labelwidth2em}
\item
El $a'a = e$ sekvas $aa'=e$.
\item 
$ae = a$ por ^ciuj $a\in G$.
\item
G entenas maksimume unu ne^utralan elementon.
\item
Por ^ciu $a \in G$ ekzistas maksimume unu inversa elemento $a' \in G$. 
\end{list}

\noindent {\bf Pruvo.}

\newcounter{sek2}
\begin{list}{(\roman{sek2})\hfill}{\usecounter{sek2}\labelwidth2em}
\item
Pro G 3 ekzistas $b$ kun $ba'$ = e. Nun sekvas
\begin{displaymath}
aa' \stackrel{G 2}{=} e(aa') = (ba')(aa') \stackrel{G 1}{=} ((ba')a)a'
\stackrel{G 1}{=} (b(a'a))a' = (be) a' \stackrel{G 2}{=} ba' = e
\end{displaymath}
\item
Estu $a'$ inversa elemento de $a$. Tiam sekvas
\begin{displaymath}
ae \stackrel{G 3}{=} a(a'a) \stackrel{G 1}{=} (aa')a \stackrel{(i)}{=} ea 
\stackrel{G 2}{=} a 
\end{displaymath}
\item
Se $e_{1}$ kaj $e_{2}$ estas ne^utralaj elementoj, tiam
\begin{displaymath}
e_{1} \stackrel{(ii)}{=} e_{1} \cdot e_{2} \stackrel{G 2}{=}e_{2}
\end{displaymath}
\item
Se $a_{1}$ kaj $a_{2}$ estas du inversaj elementoj de $a$, ni havas
\begin{displaymath}
a_{1} \stackrel{G 2}{=} e \cdot a_{1} \stackrel{G 3}{=} (a_{2}a)a_{1}
 \stackrel{G 1}{=} a_{2} (aa_{1}) \stackrel{G 3, (i)}{=} a_{2}e 
\stackrel{(ii)}{=}a_{2}
\end{displaymath}
\end{list}


Ni montris, ke por ^ciu elemento $a$ ekzistas unu kaj nur unu inversa elemento. 
Ni nomas ^gin $a^{-1}$.

\begin{rim} \end{rim}

\newcounter{sek3}
\begin{list}{(\roman{sek3})\hfill}{\usecounter{sek3}\labelwidth2em}
\item
$(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$ por ^ciuj $a,b \in G$.
\item
$(a^{-1})^{-1} = a$ por ^ciu $a\in G$
\end{list}


\begin{trivlist}
\item[]
{\bf Pruvo.}
\newcounter{sek4}
\begin{list}{(\roman{sek4})\hfill}{\usecounter{sek4}\labelwidth2em}
\item
Ni devas pruvi, ke $b^{-1}a^{-1}$ estas la inversa elemento de $ab$. Fakte
\begin{displaymath}
(b^{-1}a^{-1})ab =  ((b^{-1}a^{-1})a)b = (b^{-1}(a^{-1}a))b = (b^{-1}e)b
= b^{-1}b = e
\end{displaymath}
\item
Ni devas pruvi, ke la inversa elemento de $a^{-1}$ estas $a$. Tio ^gustas
pro $aa^{-1}=e$. 
\end{list}
\end{trivlist}

\subsection{Korpoj}

\begin{dif}
Korpo estas triopo $(K,+, \cdot)$ konsistanta el aro $K$ kaj du operacioj, 
la adicio 
\begin{displaymath} 
\begin{array}{llll}
+ : & K \times K & \rightarrow & K \\
      & (a,b) &      \mapsto & (a + b)
\end{array}
\end{displaymath}

kaj la multipliko 

\begin{displaymath} 
\begin{array}{llll}
\cdot : & K \times K & \rightarrow & K \\
      & (a,b) &      \mapsto & (a \cdot b)
\end{array}
\end{displaymath}

tiel ke validas la sekvaj aksiomoj:
\end{dif}

\newcounter{sek5}
\begin{list}{K \arabic{sek5}\hfill}{\usecounter{sek5}\labelwidth2em}
\item
$(K,+)$ estas abela grupo. (^Gia ne^utrala elemento estas nomata 0.)
\item
$(K\backslash\{0\}, \cdot )$ estas abela grupo. (^Gia ne^utrala elemento estas 
nomata 1.)
\item
$a\cdot (b+c) = (a\cdot b)+(a\cdot c)$ por ^ciuj $a,b,c \in K$ 
\hspace{1em}(aksiomo de distribueco)
\end{list}

Anstata^u $(K,+,\cdot)$ ni nomas anka^u $K$ korpo. Anstata^u $a\cdot b$ 
ni ofte skribas $ab$. La inverso de $a$ rilate la adicion estas nomata
$-a$. Ni do skribas $a^{-1}$ nur por la inverso rilate la multiplikon. 
Anstata^u $a+(-b)$ ni skribas anka^u $a-b$, kaj anstata^u $ab^{-1}$
ni foje skribas $\frac{a}{b}$. La^u kutima konvencio la multipliko $\cdot$
ligas pli forte ol la adicio $+$, kio ^sparigas multe da krampoj.

\subsubsection*{Simplaj ekzemploj de korpoj}

\begin{enumerate}
\item
$({\bf Q},+,\cdot)$ estas la korpo de la racionalaj nombroj.
\item
$({\bf R},+,\cdot)$ estas la korpo de la reelaj nombroj.
\end{enumerate}

\subsubsection*{Konkludoj el la korpaj aksiomoj}

\begin{rim}
Ni konkludas el la korpaj aksiomoj:
\end{rim}
\begin{list}{K 3'}{\labelwidth2em}
\item
$(a+b)c = ac+bc$ \hspace{1em}(maldekstra distribueco)
\end{list}

\noindent kaj krome 

\newcounter{sek6}
\begin{list}{(\roman{sek6})\hfill}{\usecounter{sek6}\labelwidth2em}
\item
$a\cdot0=0$ kaj $0 \cdot a = 0$ por ^ciuj $a\in K$
\item
El $ab=0$ sekvas $a=0$ a^u $b=0$.
\item
$a(-b)=(-a)b=-ab$ por ^ciuj $a,b \in K$
\item
$(-a)(-b)=ab$ por ^ciuj $a,b \in K$
\end{list}

\noindent 
{\bf Pruvo.}
\begin{list}{K 3'\hfill}{\labelwidth2em}
\item
$(a+b)c \stackrel{K 1}{=} c(a+b) \stackrel{K 3}{=}ca+cb$
\end{list}
\newcounter{sek7}
\begin{list}{(\roman{sek7})\hfill}{\usecounter{sek7}\labelwidth2em}
\item
$a\cdot 0 \stackrel{K 1}{=} a\cdot0 + (a\cdot0-a\cdot0) 
\stackrel{K 1, K 3}{=} a(0+0)-a\cdot0 \stackrel{K 1}{=} a\cdot0-a\cdot0 
\stackrel{K 1}{=}0$;

$0\cdot a \stackrel{K 1}{=} 0\cdot a + (0\cdot a-0\cdot a) 
\stackrel{K 1, K 3'}{=} (0+0)a-0\cdot a \stackrel{K 1}{=} 0\cdot a-0\cdot a 
\stackrel{K 1}{=}0$.
\item
Se $a\ne 0$ kaj $b \ne 0$, tiam pro K 2 anka^u $ab \ne 0$.
\item
$a(-b)=a(0-b) \stackrel{K 3}{=} a\cdot 0-ab \stackrel{(i)}{=} 0-ab = -ab$;
 
$(-a)b=(0-a)b \stackrel{K 3'}{=} 0\cdot b-ab \stackrel{(i)}{=} 0-ab = -ab$.
\item
$(-a)(-b) \stackrel{(iii)}{=} -(a(-b)) \stackrel{(iii)}{=} -(-ab) 
\stackrel{3.1.3}{=}ab$
\end{list}

\subsubsection*{La korpo de la kompleksaj nombroj}

\begin{dif}
Sur la aro ${\bf R}\times {\bf R}$ de la (orditaj) paroj de reelaj 
nombroj ni difinas adicion kaj multiplikon per 
\begin{displaymath}
\begin{array}{llll}
(a,b)+(c,d) & = &(a+c, b+d) & kaj\\
(a,b)\cdot (c,d) & = & (ac-bd, ad+bc) & 
\end{array}
\end{displaymath}

Oni facile vidas, ke $({\bf R}\times {\bf R} ,+,\cdot)$ estas korpo 
kun $(0,0)$ kiel 
ne^utrala elemento de la adicio, $-(a,b) = (-a,-b)$ kiel negativa elemento
de $(a,b)$ (t.e. kiel inversa elemento rilate la adicion), $(1,0)$ kiel
ne^utrala elemento de la multipliko kaj
 
\begin{displaymath}
(a,b)^{-1} = \left(\frac{a}{a^2+b^2} , \frac{-b}{a^2+b^2} \right)
\end{displaymath}

\noindent kiel inversa elemento de $(a,b)$ rilate la multiplikon. Tiu ^ci korpo
nomi^gas la korpo ${\bf C}$ de la {\em kompleksaj nombroj}. 

\end{dif}

Pro $(a,0) + (a',0) = (a+a',0)$ kaj $(a,0)\cdot (a',0) = (aa',0)$ ni 
rajtas identigi la reelan nombron $a$ kun la kompleksa nombro $(a,0)$.
Tiamaniere ${\bf R}$ fari^gas subaro de ${\bf C}$. Ni nun difinas 
$i:=(0,1)$ kaj ricevas la kutiman skribmanieron de la kompleksaj
nombroj:

\begin{displaymath}
(a,b) = (a,0) + (b,0)(0,1) = a+bi \ \ \mbox{ (a,b} \in \mbox{{\bf R})}
\end{displaymath}

Evidente $i^2 = (0,1)(0,1) = -1$. La reguloj por la adicio kaj 
multipliko nun aspektas jene:

\begin{displaymath}
\begin{array}{llll}
(a+bi)+(c+di) & = &(a+c)+(b+d)i & kaj\\
(a+bi)\cdot (c+di) & = & ac-bd+(ad+bc)i
\end{array}
\end{displaymath}


\begin{dif}
Por $\lambda = a+bi$, $\re \lambda := a$ nomi^gas la {\em reela parto},
 $\im \lambda := b$ la {\em imaginara parto} kaj $\bar{\lambda }:= a-bi$ 
la {\em konjuga^jo} de $\lambda $.
La {\em absoluta valoro} de $\lambda $ estas 
\begin{displaymath}
|\lambda | := \sqrt{\lambda \bar{\lambda}} = \sqrt{(a+bi)(a-bi)} = 
\sqrt{a^2+b^2}\ ;
\end{displaymath}
tiu ^ci radiko ekzistas pro $a^2+b^2 \ge 0$.
\end{dif}

\begin{rim}
Por ^ciuj $\lambda, \mu \in {\bf C}$ ni havas:
\end{rim}
\newcounter{sek8}
\begin{list}{(\roman{sek8})\hfill}{\usecounter{sek8}\labelwidth2em}
\item
$\overline{\lambda + \mu } = \bar{\lambda } + \bar{\mu }$
\item
$\overline{\lambda \cdot \mu} = \bar{\lambda } \cdot \bar{\mu }$
\item
$\bar{\bar{\lambda }}= \lambda $
\item
$|\lambda \cdot \mu| = |\lambda | \cdot |\mu |$ 
\item
$\lambda \in {\bf R} \Leftrightarrow \lambda = \bar{\lambda}$
\end{list}

\begin{trivlist}
\item[]
{\bf Pruvo.} La unuaj kvar egala^joj montri^gas veraj kiam oni substituas 
$\lambda $ kaj $\mu$ per $a+bi$ respektive $c+di$ kaj aplikas la difinojn
de la adicio, multipliko, konjugo kaj absoluta valoro. ^Ce aserto (v)
la direkto ``$\Rightarrow $'' estas triviala; la alia direkto 
``$\Leftarrow $'' sekvas jene:
\vspace{-0.5em}
\begin{eqnarray*}
   & a+bi&= \ a-bi \\
\Rightarrow & 2bi& = \ 0 \\
\Rightarrow & b&= \ 0
\end{eqnarray*}

\end{trivlist}

\subsubsection*{Finiaj korpoj}

Sur la aro $M_{2} = \{0,1\}$ ni enkondukas la operaciojn $+$ kaj $\cdot $
per la sekvaj tabeloj: 

\begin{center}
\begin{tabular}{c|cc}
$+$ & 0 & 1 \\
\hline
0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{tabular} \hspace{9em} 
\begin{tabular}{c|cc}
$\cdot $ & 0 & 1 \\
\hline
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{tabular}
\end{center}

Oni facile vidas, ke la korpaj aksiomoj estas plenumitaj. Ni do 
konstruis korpon kun du elementoj. En ^gi validas la unuavide kurioza 
egala^jo $1+1=0$.

\vspace{0.6em}

Ni povas konstrui e^c por ^ciu primo $p$ korpon sur la aro $M_{p} :=
\{0, 1, \ldots , p-1\}$: Por $x, y \in M_{p}$ estu $x+y$ la resto  
module $p$ de la kutima sumo de $x$ kaj $y$ en ${\bf Z}$. Same $x \cdot y$ estu
la resto module $p$ de la kutima produto de $x$ kaj $y$ en ${\bf Z}$.

Ni nun pruvas, ke $M_{p}$ kune kun tiuj ^ci du operacioj plenumas la 
korpajn aksiomojn: La ne^utrala elemento de la adicio estas 0, la negativo
de $a$ estas $-a = p-a \in M_{p}$; la ne^utrala elemento de la multipliko 
estas 1, kaj la aksiomoj de asocieco, komuteco kaj distribueco validas
^car ili validas en ${\bf Z}$. Netriviala estas nur la aserto, ke por ^ciu 
$a \in M_{p} \backslash \{0\} $ ekzistas inverso rilate la multiplikon:

Se iu elemento $a \in M_{p} \backslash \{0\} $ ne havas inverson en 
$M_{p}$, tiam inter la $p$ produtoj $x \cdot a, x\in M_{p}$ neniu 
egalas al la ne^utrala elemento 1. Sekve iu el la $p$ elementoj de 
$M_{p}$ aperas plurfoje kiel rezulto. Ekzistas do elementoj $x, y \in M_{p},
x \ne y$, kun $xa = ya$. Sekve $(x-y)a=0$. Tio signifas en la aro ${\bf Z}$, ke 
la produto $(x-y)a$ estas dividebla per $p$. Simpla teoremo el la 
nombroteorio diras, ke primo dividanta produton dividas unu el
^giaj faktoroj. Ni signas la dividon per $|$ kaj konkludas: 
$p|(x-y)$ a^u $p|a$. Pro $a \in \{1, \ldots , p-1\}$ ni povas malakcepti la
duan eblecon. Sekve $p|(x-y)$. Rigardante $x-y$ kiel elementon de $M_{p}$,
ni ricevas $x-y=0$ kaj sekve $x = y$; ni do ricevis kontra^udiron. 

\vspace{0.6em}
 
Ni nomas la ^jus konstruitan korpon ${\bf F_{p}}$. Evidente 
${\bf F_{2}}$ estas la korpo, kiun ni difinis en la komenco de
tiu ^ci paragrafo per la du tabeloj por la adicio kaj multipliko. La 
egala^jo $1+1=0$ ne plu surprizas, kiam ni komprenas ^gin kiel konstaton pri
restoj module 2: ^Gi tiam signifas, ke la sumo de du neparaj nombroj
estas para.

Ni ^jus vidis, ke por ^ciu primo $p$ ekzistas korpo kun $p$ elementoj.
Kiel ^generaligon de tiu ^ci konstato ni mencias sen pruvo, ke korpo kun
$n$ elementoj ekzistas se kaj nur se $n$ estas potenco de primo.

Kiel ekzemplon de korpo kun neprima nombro de elementoj ni nun konstruas
korpon kun 4 elementoj: Difinu sur la aro $M_{4}= \{0,1,s,t\}$ la operaciojn
$+$ kaj $\cdot $ per la sekvaj tabeloj:

\begin{center}
\begin{tabular}{c|cccc}
$+$ & 0 & 1 & $s$ & $t$ \\
\hline
0 & 0 & 1 & $s$ & $t$ \\
1 & 1 & 0 & $t$ & $s$ \\
$s$ & $s$ & $t$ & 0 & 1 \\
$t$ & $t$ & $s$ & 1 & 0 
\end{tabular} \hspace{5em}
\begin{tabular}{c|ccc}
$\cdot $ & 1 & $s$ & $t$ \\
\hline
1 & 1 & $s$ & $t$ \\
$s$ & $s$ & $t$ & 1 \\
$t$ & $t$ & 1 & $s$ 
\end{tabular} 
\end{center}

Estas facile, kvankam iomete penige, pruvi, ke $(M_{4},+,\cdot )$ estas
korpo. Oni nomas ^gin kutime ${\bf F_{4}}$.

\section{Vektorspacoj}

\subsection{Difino de vektorspaco kaj ekzemploj}

\begin{dif}
$V$ estu aro kaj $K$ estu korpo. {\em $K$-vektorspaco} a^u {\em vektorspaco
super la korpo $K$} estas triopo 
$(V,+, \cdot)$ konsistanta el aro $V$ kaj du operacioj, 
la adicio 
\begin{displaymath} 
\begin{array}{llll}
+ : & V \times V & \rightarrow & V \\
      & (v,w) &      \mapsto & (v + w)
\end{array}
\end{displaymath}

kaj la {\em skalara multipliko} 

\begin{displaymath} 
\begin{array}{llll}
\cdot : & K \times V & \rightarrow & V \\
      & (\lambda ,v) &   \mapsto & \lambda \cdot v
\end{array}
\end{displaymath}

tiel ke (por ^ciuj $\lambda, \mu \in K, \  v, w \in V )$ la 
sekvaj aksiomoj validas:
\end{dif}

\newcounter{sek9}
\begin{list}{V \arabic{sek9}\hfill}{\usecounter{sek9}\labelwidth2em}
\item
$(V,+)$ estas abela grupo.
\item
$(\lambda +\mu )\cdot v = \lambda \cdot v + \mu \cdot v$
\item
$\lambda \cdot (v+w) = \lambda \cdot v + \lambda \cdot w$ 
\item
$\lambda \cdot (\mu \cdot v) = (\lambda \cdot \mu )\cdot v$
\item
$1 \cdot v = v$
\end{list}


La ne^utrala elemento 0 de la abela grupo $(V,+)$ estas nomata {\em 
nulvektoro}. Simile kiel ^ce grupoj kaj korpoj, anstata^u $(V,+,\cdot )$
ni nomas anka^u $V$ vektorspaco, kaj anstata^u $\lambda \cdot v  
\ (\lambda \in K, v \in V)$ ni ofte skribas simple $\lambda v$. La^u 
kutima 
konvencio la skalara multipliko ligas pli forte ol la adicio en $V$. 

La elementoj de $V$ nomi^gas {\em vektoroj} kaj la elementoj de $K$ 
{\em skalaroj}.

\subsubsection*{Ekzemploj}

^Ce la sekvaj tri ekzemploj oni facile vidas, ke la aksiomoj de 
vektorspaco estas plenumitaj.

\begin{enumerate}
\item
Bazaj ekzemploj de $K$-vektorspacoj estas la spacoj $V=K^{n} = 
\underbrace{K \times \ldots \times K}_{n-foje}$ de la orditaj $n$-opoj, 
en kiuj la adicio kaj la skalara multipliko estas enkondukitaj per 
\begin{displaymath}
(x_{1}, \ldots, x_{n}) + (y_{1}, \ldots, y_{n}) = 
 (x_{1} + y_{1}, \ldots, x_{n} + y_{n})
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\lambda (x_{1}, \ldots, x_{n}) = (\lambda x_{1}, \ldots, \lambda x_{n})
\end{displaymath}
\item
Estu $V$ la aro de ^ciuj polinomoj super korpo $K$, t.e.
\begin{displaymath}
V=\{a_{n}x^{n} + \ldots + a_{1}x + a_{0}; \ a_{0}, \ldots , a_{n} \in K, 
\ n \ge 0 \}.
\end{displaymath}
\begin{trivlist}
\item[]
Ni enkondukas adicion per
\begin{displaymath} 
(a_{n}x^{n} + \ldots + a_{1}x + a_{0}) + (b_{n}x^{n} + \ldots + b_{1}x + b_{0})
= (a_{n} + b_{n}) x^{n} + \ldots + (a_{1}+b_{1})x + a_{0}+ b_{0}
\end{displaymath}
(se la plej altaj potencoj havas malsamajn gradojn, samigu ilin per adicio de
potencoj kun koeficiento 0)
\item[]
kaj skalaran multiplikon per 
\begin{displaymath}
\lambda (a_{n}x^{n} + \ldots + a_{1}x + a_{0}) =
\lambda a_{n}x^{n} + \ldots + \lambda a_{1}x + \lambda a_{0}
\end{displaymath}
\end{trivlist}
Evidente $(V,+)$ estas abela grupo kaj $(V,+, \cdot )$ estas vektorspaco.

\item
Estu $V$ la aro de ^ciuj reelaj funkcioj, t.e. de ^ciuj bildigoj de 
${\bf R}$ al ^gi mem. Ni enkondukas adicion $+$ kaj multiplikon 
$\cdot $ de elementoj de $V$ per reelaj nombroj per 
\begin{displaymath}
\left.
\begin{array}{l}
(f+g)(x)= f(x)+g(x) \\
(\lambda \cdot f)(x) = \lambda \cdot f(x)
\end{array}
\right\} \quad \mbox{por ^ciuj } \lambda, x \in {\bf R} 
\mbox{ kaj } f,g \in V.
\end{displaymath}

La bildigo $f+g$ do atribuas al ^ciu elemento $x \in {\bf R}$ 
la elementon $f(x)+g(x)\linebreak[2]\in {\bf R}$. 
Evidente $(V,+)$ estas abela grupo kaj $(V,+, \cdot )$ estas vektorspaco.
 
\end{enumerate}

\subsubsection*{Konkludoj el la aksiomoj de vektorspaco}

\begin{rim}
Se $V$ estas $K$-vektorspaco, ni havas:
\end{rim}

\newcounter{se1}
\begin{list}{(\roman{se1})\hfill}{\usecounter{se1}\labelwidth2em}
\item
$0 \cdot v = 0 \ $ por ^ciuj $v \in V$
\item
$\lambda \cdot 0 = 0 \ $ por ^ciuj $\lambda \in K$ 
\item
$(-\lambda )v = -\lambda v \ $ por ^ciuj $\lambda \in K, v \in V$
\item
El $\lambda v = 0$ sekvas $\lambda = 0$ a^u $v=0$.
\end{list}

\begin{trivlist}
\item[]
{\bf Pruvo}
\newcounter{se2}
\begin{list}{(\roman{se2})\hfill}{\usecounter{se2}\labelwidth2em}
\item
$0 \cdot v = 0 \cdot v + 0 \cdot v - 0 \cdot v =  (0+0) \cdot v - 0 \cdot v 
= 0 \cdot v - 0 \cdot v = 0$
\item
$\lambda \cdot 0 = \lambda \cdot 0 + \lambda \cdot 0 - \lambda \cdot 0 =  
\lambda \cdot (0+0) - \lambda \cdot 0  
= \lambda \cdot 0 - \lambda \cdot 0 = 0$
\item
$(-\lambda ) v = (-\lambda ) v + \lambda v - \lambda v
= (- \lambda + \lambda ) v - \lambda v = 0 - \lambda v = - \lambda v$
\item
Estu $\lambda v = 0, \ \lambda \ne 0$. Tiam ekzistas $\lambda ^{-1} \in K$
kun $v=(\lambda ^{-1}\lambda )v = \lambda ^{-1} (\lambda v) \linebreak[2] =
\lambda ^{-1} \cdot 0 \stackrel{(ii)}{=} 0$
\end{list}
\end{trivlist}

\subsection{Subspacoj}

\begin{dif}
$(V,+, \cdot )$ estu $K$-vektorspaco kaj $U \subset V$ estu subaro de $V$.
$(U,+, \cdot )$ nomi^gas {\em subspaco} de $V$ se $U$ kune kun la adicio kaj 
skalara multipliko el $(V,+, \cdot )$ mem estas vektorspaco.
\end{dif}

\begin{rim}
Subaro $U \ne \emptyset$ de vektorspaco $V$ estas subspaco se kaj nur se  
la sekvaj kondi^coj estas plenumitaj:
\end{rim}
\newcounter{se3}
\begin{list}{(\roman{se3})\hfill}{\usecounter{se3}\labelwidth2em}
\item
$x,y \in U \Rightarrow x+y \in U \ $ (fermiteco rilate la adicion)
\item
$\lambda \in K, x \in U \Rightarrow \lambda x \in U \ $ (fermiteco rilate
la multiplikon)
\end{list}

{\bf Pruvo.} Se $U$ estas subspaco de $V$, la du kondi^coj estas evidente
plenumitaj. Inverse, se $U$ estas subaro de $V$, kiu plenumas (i) kaj (ii),
$U$ entenas kun $x$ anka^u $-x = -(1x) = (-1)x$; pro (i) ^gi entenas anka^u 
$0 = x + (-x)$. La aliaj aksiomoj de vektorspaco validas simple ^car ili 
validas en $V$. 

\subsubsection*{Ekzemploj de subspacoj}

Subspacoj de ${\bf R}^{2}$ estas 
\begin{itemize}
\item
la nulvektoro,
\item
la rektoj tra 0, t.e. ^ciu aro $\{\lambda v: \lambda \in 
{\bf R}\}$ por fiksita $v \in {\bf R}^{2}\backslash \{0\}$,
\item
${\bf R}^{2}$ mem.
\end{itemize}
Oni povas pruvi, ke ${\bf R}^{2}$ ne havas pliajn subspacojn.   

\subsection{Lineara dependeco kaj bazoj}

\begin{dif}
Aro de $r$ vektoroj $\{v_{1}, \ldots, v_{r}\}$ el $K$-vektorspaco $V$ 
nomi^gas {\em lineare sendependa}, se el $\lambda_{1}, \ldots , 
\lambda_{r} \in K$ kaj $\lambda_{1}v_{1} + \ldots +  
\lambda_{r}v_{r} = 0 $ sekvas $\lambda_{1} = \ldots = \lambda_{r} = 0$.

^Gi nomi^gas {\em lineare dependa}, se ^gi ne estas lineare sendependa.
\end{dif}

\subsubsection*{Ekzemploj}

\begin{itemize}
\item
En la vektorspaco ${\bf R}^{2}$ la aro $\{(1,2), (2,3)\}$
estas lineare sendependa, dum $\{(1,2), (2,4)\}$ estas lineare dependa.
Pli ^generale, en $K$-vektorspaco aro \{v,w\} de {\em du} vektoroj estas 
lineare dependa se kaj nur se ekzistas iu $\lambda \in K$ tiel ke 
$v = \lambda w$ a^u $w = \lambda v$.
\item
En la vektorspaco ${\bf R} ^{n}$ la aro 
$\{(1,0,\ldots ,0,0), (0,1,\ldots , 0,0), \ldots , (0,0,\ldots ,0,1)\}$
estas lineare sendependa.
\end{itemize}

\begin{trivlist}
\item[]
Por povi uzi Difinon 4.3.1 anka^u por nefiniaj aroj de vektoroj, ni nun 
^generaligas ^gin. 
\end{trivlist}
\begin{dif}
$V$ estu $K$-vektorspaco. Subaro $M \subset K$ nomi^gas {\em lineare sendependa}
se ^ciu finia subaro $\{v_{1}, \ldots, v_{r}\} \subset M$ estas lineare
sendependa. $M$ nomi^gas {\em lineare dependa} se ^gi ne estas lineare 
sendependa.
\end{dif}

\begin{rim}
Se $M$ estas lineare sendependa subaro de vektorspaco $V$, tiam anka^u 
^ciu subaro $M' \subset M$ estas lineare sendependa. \hfill $\Box$
\end{rim}

\begin{dif}
Vektoro $v$ el $K$-vektorspaco $V$ nomi^gas {\em lineara kombina^jo} de 
la vektoroj $v_{1}, \ldots, v_{r} \in V$ se ekzistas $\lambda_{1}, ... ,
\lambda_{r} \in K$ tiel ke 
\begin{displaymath}
v=\lambda_{1}v_{1} + \ldots + \lambda_{r}v_{r}
\end{displaymath}
Se $M$ estas subaro de $K$-vektorspaco $V$, ni difinas 
\begin{displaymath}
\Lin M := \{v \in V: \mbox{ v estas lineara kombina^jo de finia nombro de 
vektoroj el } M\}
\end{displaymath}
$\Lin M$ estas nomata la {\em lineara tega^jo} de $M$. (Oni foje skribas 
anstata^u $\Lin M$ anka^u $\langle M \rangle $.)
\end{dif}

\subsubsection*{Generantaroj kaj bazoj}

\begin{dif}
Subaro $M$ de $K$-vektorspaco $V$ nomi^gas {\em generantaro} de $V$ 
se \linebreak[3] $V = \nolinebreak[3] \Lin M$. \linebreak[3]
{\em Bazo} $B$ de vektorspaco $V$ estas lineare sendependa generantaro.
\end{dif}

\begin{teo}
La sekvaj asertoj estas ekvivalentaj:
\end{teo}
\newcounter{se4}
\begin{list}{(\roman{se4})\hfill}{\usecounter{se4}\labelwidth2em}
\item
$M$ estas bazo de $V$.
\item
$M$ estas minimuma generantaro de $V$. (Tio signifas, ke $V= \Lin M$, sed
$V \ne \Lin (M \backslash \{v\}$) por ^ciu $v \in M$.)
\item
$M$ estas maksimuma lineare sendependa subaro de $V$. (Tio signifas, ke 
$M$ estas lineare sendependa, sed $M \cup \{v\}$ estas lineare dependa
por ^ciu $v \in V\backslash M$.)
\item
^Ciu vektoro $v \in V$ estas unike reprezentebla kiel 
lineara kombina^jo de finia nombro de malsamaj vektoroj el $M$.
\end{list}

\begin{trivlist}
\item[]
{\bf Pruvo.}
\end{trivlist}
\begin{enumerate}
\item
(i) $\Rightarrow $ (ii) Se $M$ estas lineare sendependa, tiam por ^ciu
 $v \in M$ la egala^jo 
\begin{displaymath}
\lambda v + \lambda_{1} v_{1} + \ldots + \lambda_{r}v_{r} = 0 \mbox{ kun } 
v_{1}, \ldots , v_{r} \in M, \lambda, \lambda_{1}, \ldots , \lambda_{r} \in 
K
\end{displaymath}
^gustas nur por $\lambda = \lambda_{1}, \ldots , \lambda_{r} = 0$.
(Ni supozas, ke $v, v_1, \ldots , v_r$ estas {\em malsamaj} elementoj de $M$.) 
Sekve $v \not\in \Lin (M \backslash \{v\})$. Tio signifas, ke $M$ estas 
{\em minimuma} generantaro.

\item
(ii) $\Rightarrow $ (i) (Nerekta pruvo.) Se $M$ estas {\em lineare 
dependa} generantaro de $V$, tiam ekzistas $v_{1}, \ldots , v_{r} \in M$ kaj
$\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{r} \in K$, kiuj ne ^ciuj estas 0, tiel ke
\begin{displaymath}
\lambda_{1} v_{1} + \ldots + \lambda_{r}v_{r} = 0
\end{displaymath}
Ni elektas iun $i \in \{1, \ldots, r\}$ kun $\lambda_{i} \ne 0$. Tiam 
$v_{i}= - \frac{1}{\lambda_{i}}(\lambda_{1} v_{1} + \ldots + 
\lambda_{i-1} v_{i-1} + \lambda_{i+1} v_{i+1} + \ldots + \lambda_{r}v_{r}) $.
Sekve anka^u $M \backslash \{v_i\}$ estas generantaro de $V$. (Kontra^udiro al
(ii).)

\item
(i) $\Rightarrow $ (iii) (Nerekta pruvo.) Ni supozu, ke ni povas aldoni al
$M$ iun plian vektoron $v$ tiel, ke anka^u $M \cup \{v\}$ estas lineare 
sendependa. Tio signifas, ke por ^ciuj $v_{1}, \ldots, v_{r} \in M, 
\ \lambda, \lambda_{1}, \ldots , \lambda_{r} \in K$ validas la implico
\begin{displaymath}
\lambda v + \lambda_{1} v_{1} + \ldots + \lambda_{r}v_{r} = 0 \Rightarrow 
\lambda = \lambda_{1} = \ldots = \lambda_{r} = 0
\end{displaymath}
Sekve $v \not\in \Lin M$, t.e. $M$ ne estas generantaro de $V$.
(Kontra^udiro al (i).)

\item
(iii) $\Rightarrow $ (i) (Nerekta pruvo.) Ni supozu, ke $M$ ne estas generantaro
de V. Tiam ekzistas en $V$ iu vektoro $v \not\in \Lin M$. Nun por  
^ciuj $v_{1}, \ldots, v_{r} \in M, 
\ \lambda, \lambda_{1}, \ldots , \lambda_{r} \linebreak[2] \in K$ validas la implico
\begin{displaymath}
\lambda v + \lambda_{1} v_{1} + \ldots + \lambda_{r}v_{r} = 0 \Rightarrow 
\lambda = \lambda_{1} = \ldots = \lambda_{r} = 0 , 
\end{displaymath}
kion ni konkludas por $\lambda = 0$ el la lineara sendependeco de $M$ kaj 
por $\lambda \ne 0$ el $v \not\in \Lin M$. Sekve anka^u $M \cup \{v\}$ estas
lineare sendependa. (Kontra^udiro al (iii).)

\item
(i) $\Rightarrow $ (iv) Pro $v \in \Lin M$ ^ciu vektoro $v \in V$ estas 
reprezentebla
kiel lineara kombina^jo de vektoroj el $M$. Se ni havas du reprezentojn
$v = \lambda_{1} v_{1} + \ldots + \lambda_{r}v_{r}$ kaj 
$v = \mu_{1} v_{1} + \ldots + \mu_{r}v_{r}$ (kie $v_{1}, \ldots , v_{r} \in M, 
\ \lambda_{1}, \ldots , \lambda_{r}, \mu_{1}, \ldots , \mu_{r} \in K$), tiam
el la diferenco $0 = (\lambda_{1} - \mu_{1})v_{1} + \ldots + (\lambda_{r} 
-\mu_{r})v_{r}$ sekvas pro la lineara sendependeco de $v_{1}, \ldots, 
v_{r}$ ke $\lambda_{1} = \mu_{1}, \ldots , \lambda_{r} = \mu_{r}$; la du
reprezentoj do estas identaj.

\item
(iv) $\Rightarrow $ (i) Pro (iv) $M$ estas generantaro de $V$. Ni nun pruvas 
nerekte, ke $M$ estas lineare sendependa: Se $M$ estus lineare dependa,
la vektoro $0 \in V$ \linebreak[2] havus iun netrivialan reprezenton $v= \lambda_{1} v_{1} + 
\ldots + \lambda_{r} v_{r}$, kie $v_{1}, \ldots, v_{r} \in \nolinebreak[4] M, \ 
\linebreak[2] \lambda, \lambda_{1}, \ldots , \lambda_{r} \in K$ kaj ne ^ciuj $\lambda_{i} 
\ (i=1, \ldots, r$) estas nuloj. ^Car $0$ havas anka^u la trivialan reprezenton 
$0= 0 v_{1} + \ldots + 0 v_{r}$, tiu reprezento ne estus la sola. (Kontra^udiro
al (iv).) 
\end{enumerate}

\begin{kor}
^Ciu vektorspaco kun finia generantaro havas bazon.
\end{kor}
{\bf Pruvo.} Per forpreno de vektoroj el finia generantaro ni povas trovi 
{\em minimuman} generantaron. Pro la ^jus pruvita teoremo tia minimuma 
generantaro estas bazo. \hfill $\Box $

\vspace{1em}
Ni notas, ke tiu ^ci korolario validas anka^u por vektorspacoj kun 
nefinia generantaro; la ^generala
pruvo bazi^gas sur aksiomo de la aroteorio. 

\subsection{Inter\^{s}an\^{g}o de bazaj vektoroj}

\begin{teo}
Estu $w_{1}, \ldots, w_{s}$ lineare sendependaj vektoroj el vektorspaco 
$V$ kun bazo $\{v_{1}, \ldots, v_{n}\}$. Tiam ni povas elekti el la vektoroj 
$v_{1}, \ldots, v_{n}$ vektorojn $v_{1}', \ldots, v_{m}'$ tiel, ke anka^u
$\{w_{1}, \ldots, w_{s}, v_{1}', \ldots, v_{m}' \}$ estas bazo de $V$.
\end{teo}

{\bf Pruvo.} Konsideru ^ciujn subarojn de $M=\{w_{1}, \ldots, w_{s}, v_{1}, 
\ldots, v_{n} \}$, kiuj entenas $M_{1}=\{w_{1}, \ldots, w_{s}\}$ kaj estas
generantaroj de $V$. Almena^u $M$ mem havas tiujn ^ci ecojn. Elektu tian 
subaron kun minimuma nombro de vektoroj: $M_{2} = \{w_{1}, \ldots, w_{s}, 
v_{1}', \ldots, v_{m}' \}$. Ni nun montras per nerekta pruvo, ke $M_{2}$
estas lineare sendependa, kio pruvas la teoremon. Se $M_{2}$ estus lineare
dependa, ni havus \linebreak[4] $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{s}, 
\linebreak[1] \mu_{1}, \ldots , 
\mu_{m} \in K$, kiuj ne ^ciuj estas nuloj, tiel ke 
\begin{displaymath}
\lambda_{1} w_{1} + \ldots + \lambda_{s} w_{s} + \mu_{1} v_{1}'+ \ldots + 
\mu_{m} v_{m}' = 0
\end{displaymath}
Nun ekzistas iu $i \in \{1, \ldots , m\}$ kun $\mu_{i} \ne 0$, ^car alikaze
$\{w_{1}, \ldots , w_{s}\}$ estus lineare dependa. Tio signifas, ke ne nur 
$\mu_{i} v_{i}' \in \Lin \{w_{1}, \ldots, w_{s}, v_{1}', \ldots, v_{i-1}', 
v_{i+1}', \ldots , v_{m}'\}$, 
sed e^c $v_{i}' \in \Lin \{w_{1}, \ldots, w_{s}, v_{1}', \ldots, v_{i-1}' , 
v_{i+1}' , \ldots , v_{m}'\}$.
Tio estas kontra^udiro al la minimumeco de $M_{2}$, ^car anka^u    
$M_{2} \backslash \{v_{i}'\}$ havas la deziratajn ecojn. \hfill $\Box $

\begin{kor}
En vektorspaco kun finia bazo ^ciuj bazoj havas la saman longon. (La longo
de bazo estas la nombro de vektoroj entenataj en ^gi.)
\end{kor}

{\bf Pruvo.} Estu $\{v_{1}, \ldots , v_{r}\}$ bazo de $V$ kun minimuma 
longo. $\{w_{1}, \ldots , w_{n}\}$ estu alia bazo de $V$. Tiam $r \le n$.
Ni devas pruvi, ke $r = n$. Tiucele ni konstatas, ke la^u Teoremo 4.4.1 
ekzistas $v_{1}', \ldots, v_{m_{1}}' \in \{v_{1}, \ldots, v_{r}\}$
tiel ke anka^u $\{w_{1}, v_{1}', \ldots, v_{m_{1}}'\}$ estas bazo de $V$.
Nun $m_{1} < r$, ^car $w_{1} \in \Lin \{v_{1}, \ldots, v_{r}\}$. Krome  
$m_{1} \ge r-1$, ^car alikaze $V$ havus bazon entenantan malpli ol $r$
vektorojn. Sekve anka^u $\{w_{1}, v_{1}', \ldots, v_{m_{1}}'\}$ estas bazo 
de $V$ kun longo $r$.

^Car $\{w_{1}, w_{2}\}$ estas lineare sendependa, la^u Teoremo 4.4.1 
ekzistas $v_{1}'', \ldots, v_{m_{2}}'' \linebreak[2] \in \{w_{1}, v_{1}', \ldots, 
v_{m_{1}}'\}$ tiel, ke anka^u $\{w_{1}, w_{2}, v_{1}'', \ldots, 
v_{m_{2}}''\}$ estas bazo de $V$. Ni havas e^c $v_{1}'', \ldots, v_{m_{2}}'' 
\in \{v_{1}', \ldots, v_{m_{1}}'\}$, ^car $w_{1}$ ne povas plurfoje aperi
en bazo. Nun $m_{2} < r-1$, ^car $w_{2} \in \Lin \{w_{1}, v_{1}', \ldots, 
v_{m_{1}}'\}$. Krome  
$m_{2} \ge r-2$, ^car alikaze $V$ havus bazon entenantan malpli ol $r$
vektorojn. Sekve anka^u $\{w_{1}, w_{2}, v_{1}'', \ldots, v_{m_{2}}''\}$ 
estas bazo de $V$ kun longo $r$. Aplikante tiun ^ci proceduron $r$-foje,
ni konstatas, ke anka^u $\{w_{1}, \ldots, w_{r}\}$ estas bazo de $V$. 
^Car anka^u $\{w_{1}, \ldots , w_{n}\}$ estas bazo (kaj do {\em minimuma} 
lineare sendependa generantaro) de $V$, ni konkludas, ke $r=n$. 
\hfill $\Box$

\vspace{0.8em}

Tiu ^ci korolario ebligas la sekvan difinon:

\begin{dif}
La {\em dimensio} de vektorspaco $V$ estas
\end{dif}

\vspace{-0.5em}

\begin{displaymath}
\dim V := \left\{
\begin{array}{l}
r, \mbox{ se } V \mbox{ havas bazon kun longo } r \\
\infty, \mbox{ se } V \mbox{ ne havas finian bazon } 
\end{array}
\right.
\end{displaymath}


\subsection{La dimensia formulo}

\begin{dif}
Se $U, W$ estas subspacoj de $V$, ni difinas
\begin{trivlist}
\item[]
la {\em intersekcon} $\ U\cap W := \{v: v\in U$ {\em kaj} 
$v\in W\}$
\item[]
kaj la {\em sumon} $\ U + W := \{u+w: u\in U$ {\em kaj} 
$w\in W\}$
\end{trivlist}
\end{dif}

\begin{rim}
Anka^u $\ U\cap W$ kaj $U+W$ estas subspacoj de $V$.
\end{rim}
{\bf Pruvo.} Ni pruvas nur la duan aserton, ^car la unua estas e^c
pli facila. Ni aplikas rimarkon 4.2.2. Se $v_{1}, v_{2} \in U + W$,
tiam ekzistas $u_{1}, u_{2} \in U$ kaj $w_{1}, w_{2} \in W$ tiel ke
$v_{1} = u_1 + w_1$ kaj $v_{2} = u_2 + w_2$. Sekve $v_1 + v_2 = 
\underbrace{(u_1 + u_2)}_{\in U} + \underbrace{(w_1 + w_2)}_{\in W} 
\in U+W$ kaj $\lambda v_1 = \underbrace{\lambda u_1}_{\in U} + 
\underbrace{\lambda w_1}_{\in W} \in U+W$. \hfill $\Box $

\begin{trivlist}
\item[]
Se $U \cap W = \{0\}$, la sumo $U+W$ nomi^gas la {\em rekta sumo} de $U$ kaj
$W$, kaj oni skribas $U \oplus W$. 
\end{trivlist}

\begin{rim}
^Ciu vektoro $v \in U \oplus W$ havas ununuran reprezenton en la 
formo $v = u + w$ kun $u \in U, w \in W$.
\end{rim}
\begin{trivlist}
\item[]
{\bf Pruvo.} Se $v=u_1 + w_1 = u_2 + w_ 2$ kun $u_1 , u_2 \in U$ kaj 
$w_1, w_2 \in W$, tiam $\underbrace{u_1 - u_2}_{\in U} \linebreak[1] =
\underbrace{w_2 - w_1}_{\in W}$. El $U \cap W = \{0\}$ nun sekvas 
$u_1 - u_2 = 0$ kaj $w_2 - w_1 = 0$; la du reprezentoj do samas.
\hfill $\Box$
\end{trivlist}

\begin{teo}[Dimensia formulo por subspacoj]

Estu $U, W$ subspacoj de \linebreak[2] $K$-vektorspaco $V$ kun finia dimensio. Tiam
\begin{displaymath}
\dim (U+W) = \dim U + \dim W - \dim (U \cap W)
\end{displaymath}
\end{teo}

\begin{trivlist}
\item[]
{\bf Pruvo.} Estu $m:= \dim U, n:= \dim W, r:= \dim (U \cap W)$. 
Estu $\{u_1, \ldots, u_m\}$ bazo de $U$ kaj $\{v_1, \ldots, v_r\}$ 
bazo de $U \cap W$. Pro Teoremo 4.4.1 ekzistas bazo $\{v_1, \ldots, 
v_r, w_{r+1}, \ldots, w_n\}$ de $W$. Ni devas pruvi, ke $\dim (U+W) =
m+n-r$. Tiucele sufi^cas montri, ke $\{u_1, \ldots , u_m, w_{r+1}, \ldots 
, w_n \}$ estas bazo de $U+W$. Ni konkludas tion el du asertoj. 
\end{trivlist}
  
\newcounter{s1}
\begin{list}{(\roman{s1})\hfill}{\usecounter{s1}\labelwidth2em} 
\item
$\{u_1, \ldots, u_m, w_{r+1}, \ldots , w_n \}$ estas generantaro de $U+W$:

Elektu iun ajn $v \in U+W$. Tiam ekzistas $\lambda_1, \ldots, \lambda_m, 
\mu_1, \ldots, \mu_n \in K$ tiel ke 
\begin{displaymath}
v=\lambda_1 u_1 + \ldots + \lambda_m u_m + \mu_1 v_1 + \ldots +
\mu_r v_r + \mu_{r+1} w_{r+1} + \ldots + \mu_n w_n
\end{displaymath}
Pro $\mu_1 v_1 + \ldots + \mu_r v_r \in U \cap W$ ekzistas 
$\lambda_{1}', \ldots , \lambda_{m}' \in K$ tiel ke 
\begin{displaymath}
\mu_1 v_1 + \ldots + \mu_r v_r = \lambda_{1}' u_1 + \ldots + \lambda_{m}'
u_m
\end{displaymath}
Sekve $v \in \Lin \{u_1, \ldots, u_m, w_{r+1}, \ldots , w_n\}$.

\item
$\{u_1, \ldots, u_m, w_{r+1}, \ldots , w_n \}$ estas lineare sendependa:

Ni supozu, ke ekzistas $\lambda_1, \ldots , \lambda_m, \mu_{r+1}, \ldots ,
\mu_n \in K$ tiel ke 
\begin{displaymath}
\lambda_1 u_1 + \ldots + \lambda_m u_m + \mu_{r+1} w_{r+1} + \ldots + 
\mu_n w_n = 0
\end{displaymath}
Tiam $v:= \lambda_1 u_1 + \ldots + \lambda_m u_m = - \mu_{r+1} w_{r+1} - 
\ldots - \mu_n w_n$. Sekve $v \in U \cap W$. Nun $v \in \Lin \{v_1 , \ldots ,
v_r\}$ kaj $v \in \Lin \{w_{r+1} , \ldots , w_n\}$. ^Car $\{v_1, \ldots , 
v_r, w_{r+1}, \ldots , w_n\}$ estas lineare sendependa, ni konkludas 
ke $v = 0$. ^Car $\{u_1, \ldots , u_m\}$ kaj \linebreak[2] $\{w_{r+1}, 
\ldots, w_n\}$
estas lineare sendependaj aroj (la lasta pro Rimarko 4.3.3), ni ricevas
$\lambda_1 = \ldots = \lambda_m = \mu_{r+1} = \ldots = \mu_n = 0$. 
\hfill $\Box $
\end{list}  

\section{Linearaj bildigoj}

\subsection{Difino de lineara bildigo, bildo kaj kerno}

\begin{dif}
Estu $V$ kaj $V'$ vektorspacoj super la sama korpo $K$. Tiam $F: 
V \rightarrow V'$ nomi^gas {\em lineara bildigo} a^u {\em homomorfio}
se
\end{dif}
\newcounter{sl}
\begin{list}{L \arabic{sl} \hfill}{\usecounter{sl}\labelwidth2em}
\item
$F(v+w) = F(v) + F(w) \mbox{ por ^ciuj } v, w \in V$ 
\item
$F(\lambda v) = \lambda F(v) \mbox{ por ^ciuj } \lambda \in K, \ v \in V$  
\end{list}

{\em En la speciala kazo $V = V'$ tia bildigo nomi^gas } endomorfio.


\begin{rim}
La du kondi^coj {\em L 1} kaj {\em L 2} estas ekvivalentaj al la kondi^co
\end{rim}
\begin{trivlist}
\item[]
L \hspace{1em} $F(\lambda v + \mu w) = \lambda F(v) + \mu F(w) 
\mbox{ por ^ciuj } \lambda \in K, \ v, w \in V$
\end{trivlist}


\noindent
{\bf Pruvo.} La direkto ``$\Leftarrow $'' estas triviala. La direkto 
``$\Rightarrow $'' sekvas jene: $F(\lambda v + \mu w) \linebreak[2] 
\stackrel{L 1}{=}
F(\lambda v) + F(\mu w) \stackrel{L 2}{=} \lambda F(v) + \mu F(w)$.
\hfill $\Box$


\begin{rim}
Se $F: V \rightarrow V'$ estas lineara bildigo kaj $\{v_1, \ldots , v_n\}$ 
estas lineare dependa subaro de $V$, tiam
$\{F(v_1), \ldots , F(v_n)\}$ estas lineare dependa subaro de $V'$. 
\end{rim}
\begin{trivlist}
\item[]
{\bf Pruvo.} $\lambda_1 v_1 + \ldots + \lambda_n v_n = 0 
\Rightarrow F(\lambda_1 v_1 + \ldots + \lambda_n v_n) = F(0) 
\stackrel{L}{\Rightarrow } \lambda_1 F(v_1) + \ldots \linebreak[2] + \lambda_n F(v_n) 
= F(0)$; la aserto nun sekvas pro $F(0) = F(0 \cdot 0) \stackrel{L 2}{=}
0 \cdot F(0) = 0$. 
\item[]
Evidente la inversa konkludo de Rimarko 5.1.3 ne validas; ekzemple la
0-bildigo $F: v \rightarrow 0 \mbox{ por ^ciuj } v \in V$ bildigas 
lineare sendependajn arojn sur la lineare dependan aron $\{0\}$.
\end{trivlist}

\begin{dif}
Por lineara bildigo $F: V \rightarrow V'$ ni difinas
\end{dif}
\begin{trivlist}
\item[]
la {\em kernon} $\ \Ker F:= \{v \in V: F(v) = 0\}$
\item[]
kaj la {\em bildon} $\ \Im F := \{F(v): v \in V\} = F(V)$
\item[]
$\Ker F$ do estas la aro de la malbildoj de 0. 
\end{trivlist}

\begin{rim}
Estu $F: V \rightarrow W $ lineara bildigo. Tiam
\end{rim}
\newcounter{s3}
\begin{list}{(\roman{s3})\hfill}{\usecounter{s3}\labelwidth2em} 
\item
$\Ker F$ kaj $\Im F$ estas vektorspacoj.
\item
$\dim \Im F \le \dim V$
\item
$F$ estas surjekcia se kaj nur se $\Im F = W$.
\item
$F$ estas enjekcia se kaj nur se $\Ker F = \{0\}$.
\end{list}

\begin{trivlist}
\item[]
{\bf Pruvo.}
\end{trivlist}
\newcounter{s4}
\begin{list}{(\roman{s4})\hfill}{\usecounter{s4}\labelwidth2em}  
\item
$v_1, v_2 \in \Ker F, \ \lambda , \mu \in K \Rightarrow 0 = \lambda F(v_1) + 
\mu F(v_2) \stackrel{L}{=} F(\lambda v_1 + \mu v_2) \linebreak[3]
\Rightarrow \lambda v_1 + \nolinebreak[4] \mu v_2 \in \Ker F$.

La dua aserto sekvas simile, se ni elektas $v_1$ kaj $v_2$ kiel malbildojn de
$w_1$ kaj $w_2$:
$w_1, w_2 \in \Im F, \ \lambda , \mu \in K \Rightarrow \lambda w_1 + \mu w_2 
= \lambda F(v_1) + \mu F(v_2) \stackrel{L}{=} F(\lambda v_1 + \mu v_2) 
\linebreak[2] \in \Im F$.

Pro Rimarko 4.2.2 tio pruvas la aserton. 

\item
Se $\{v_1, \ldots , v_n\}$ estas bazo (kaj do generantaro) de $V$, tiam
$\{F(v_1), \ldots , F(v_n)\}$ estas generantaro de $F(V) = \Im F$. Tial 
bazo (t.e. minimuma generantaro) de $\Im F$ havas maksimume $n= \dim V$ 
elementojn.

\item
Tiu ^ci aserto estas triviala.

\item
``$\Rightarrow $'': $F(v) = 0 \Rightarrow F(v) = F(0) 
\stackrel{F \ enjekcia}{\Longrightarrow } v=0$

``$\Leftarrow $'': $F(v_1)=F(v_2) \stackrel{L}{\Rightarrow } F(v_1-v_2) = 0
\Rightarrow  v_1-v_2 \in \Ker F \Rightarrow v_1-v_2 = 0 \linebreak[2] 
\mbox{ \hspace{2.1em} }\Rightarrow v_1 = v_2$.
\hfill $\Box $
\end{list}

Oni nomas $\dim \Im F$ la rango de la lineara bildigo $F$.   

\subsection{La dimensia formulo por linearaj bildigoj}

\begin{teo} 
Estu $F: V \rightarrow V'$ lineara bildigo, kaj $\dim V$ estu finia. Tiam
\begin{displaymath}
\dim \Ker F + \dim \Im F = \dim V
\end{displaymath}
\end{teo}

\noindent 

{\bf Pruvo.} Estu $n:= \dim V$. Tiam anka^u $k:= \dim \Ker F$ estas finia,
kaj $k \le n$. $\{v_1, \ldots , v_k\}$ estu bazo de $\Ker F$. Pro Teoremo
4.4.1 nun ekzistas bazo $\{v_1, \ldots, v_k, \linebreak[2] v_{k+1}, \ldots, v_n\}$ de $V$.
Ni devas pruvi, ke $\dim \Im F = n-k$, kaj tiucele sufi^cas montri, ke
$\{F(v_{k+1}), \ldots, F(v_n)\}$ estas bazo de $\Im F$. Ni konkludas tion 
el du asertoj:

\newcounter{s5}
\begin{list}{(\roman{s5})\hfill}{\usecounter{s5}\labelwidth2em}
\item
$\{F(v_{k+1}), \ldots, F(v_n)\}$ estas generantaro de $\Im F$, ^car:

Elektu iun $w \in \Im F$. Tiam ekzistas iu $v \in V: w = F(v)$, kaj 
$\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in K$ tiel ke $v=\lambda_1 v_1 + \ldots 
+ \lambda_n v_n$. Sekve $w=F(v)=F(\lambda_1 v_1 + \ldots + \lambda_n v_n) 
= \lambda_1 F(v_1) + \ldots + \lambda_k F(v_k) + \lambda_{k+1} F(v_{k+1}) 
+ \ldots + \lambda_n F(v_n) = \lambda_{k+1} F(v_{k+1}) 
+ \ldots + \lambda_n F(v_n)$. 

\item  
$\{F(v_{k+1}), \ldots, F(v_n)\}$ estas lineare sendependa, ^car:

\begin{center}
 
\begin{tabular}{lc}
 & $\lambda_{k+1} F(v_{k+1}) + \ldots + \lambda_n F(v_n) = 0$ \\

$\Rightarrow $ & $ \ \ F(\lambda_{k+1} v_{k+1} + \ldots + \lambda_n v_n) = 0 
$ \\

$\Rightarrow $ & $ \ \ \lambda_{k+1} v_{k+1} + \ldots + \lambda_n v_n \in  
\Ker F $ \\

$\Rightarrow $ & $ \ \ \lambda_{k+1} v_{k+1} + \ldots + \lambda_n v_n \in  
\Lin \{v_1 ,\ldots, v_k\} $ \\

$\Rightarrow $ & $ \ \ \lambda_{k+1} v_{k+1} + \ldots + \lambda_n v_n = 0 $ \\

$\Rightarrow $ & $ \ \ \ \lambda_{k+1} = \ldots = \lambda_n = 0 $ \\

\end{tabular}

\end{center}

(^Ce la du lastaj konkludoj ni uzis la fakton, ke $\{v_1, \ldots , v_n\}$
kaj $\{v_{k+1}, \ldots , v_n\}$ estas lineare sendependaj.)
\hfill $\Box$
\end{list} 

\subsection{Konkludoj}

La ^jus pruvita {\em dimensia formulo por linearaj bildigoj} estas utila por
ekhavi informojn pri la solvaro de lineara ekvaciaro. La ^generala formo
de lineara ekvaciaro estas $Ax = b$, kie $A$ estas matrico, t.e. 
\begin{displaymath}
A= \left( \begin{array}{ccc}
a_{11} & \ldots & a_{1n} \\
\vdots &        & \vdots \\
a_{m1} & \ldots & a_{mn}
\end{array} \right) \mbox{ kun } a_{ij} \in K , \ i=1, \ldots , m , \ 
j = 1, \ldots , n ,
\end{displaymath}

$x, b \, $ kaj $Ax$ estas vektoroj el la spaco $K^n$, t.e.

\vspace{0.3em}
 
$x=\left( \begin{array}{c}
x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) \ , \ 
b=\left( \begin{array}{c}
b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{array} \right)$ , kaj $\ Ax=\left( \begin{array}{c}
a_{11} x_1 + \ldots + a_{1n} x_n  \\ \vdots \\ a_{m1} x_1 + \ldots 
+ a_{mn}x_n \end{array} \right) \ \in K^n$.

\vspace{0.3em}

Se $b=0$ , la ekvaciaro nomi^gas {\em homogena}. La bildigo $F: x \rightarrow Ax $ 
estas lineara; sekve la solvaro $\{x: Ax=0\}$ de homogena ekvaciaro estas 
subspaco de la vektorspaco $K^n$, nome $\Ker F$. Teoremo 5.2.1 liveras al ni 
la dimension de tiu ^ci subspaco:

\begin{displaymath}
\dim \{x: Ax = 0\} = \dim \Ker F = \dim K^n - \dim \Im F = n - \dim \Im F
\end{displaymath}

$\Im F$ estas la rango de la bildigo $F$; montri^gas, ke tiu ^ci rango estas 
egala al la {\em rango de la matrico} $A$, kiu estas difinita kiel la 
nombro de la lineare sendependaj {\em vertikaloj} de $A$. Oni povas pruvi, 
ke tiu ^ci nombro estas egala al la nombro de la lineare sendependaj 
{\em horizontaloj} de $A$. 



\section{Aldonoj}

\subsection{Fontoj}

La strukturo kaj enhavo de tiu ^ci kajero orienti^gas jen kaj jen la^u 
diversaj libroj kaj lekciaj manuskriptoj. Menciindas precipe la du nuntempe 
plej popularaj germanlingvaj enkondukoj en la linearan algebron:

\begin{trivlist}
\item[]
{\em Fischer, Gerd:} Lineare Algebra, 9a eldono, Vieweg, Braunschweig 1985.
\item[]
{\em Lorenz, Falko:} Lineare Algebra I, 3a eldono, Bibliographisches Institut, 
Mannheim 1993.
\end{trivlist}

\subsection{Terminaroj}

Por la elekto de la terminoj estas uzitaj la sekvaj fakvortaroj:
\begin{trivlist}
\item[]
{\em Holdgr\"un, Horst S. {\em kaj} Kiselman, Christer O.:} La matematiko en 
Plena Ilustrita Vortaro. Revizio. Manuskripto de 1992-07-12. 
{\sl (^Ciurilate tre profesinivela verko kun pli ol 300 terminoj; 
pro kopirajtaj kialoj ankora^u ne 
a^cetebla. ^Gi eniros en la novan eldonon de PIV. Eblas tamen ricevi la 
terminojn - plejparte ankora^u sen difinoj - jam nun 
per anonima {\em ftp} de {\em cfgauss.uni-math.gwdg.de}, dosieraro 
{\em Ilo/terminaro/matematiko}.)}

\item[]
{\em Hilgers, R. {\em kaj} Yashovardhan:} EK-vortaro de matematikaj terminoj.
Leuchtturm-Verlag, Alsbach 1980. {\sl (8-lingva vortaro kun 460 terminoj;
tre utila pro la precizaj esperantlingvaj difinoj.)}
\item[]
{\em Reiers\o l, Olav:} Matematika kaj stokastika terminaro. 2a eldono, 
Universitato de Oslo 1994. {\sl (Vortaro kun ^c. 650 terminoj kun difinoj,
rimarkoj pri ilia elekto kaj vortlistoj angla-esperanta
kaj esperanta-angla. Relative skemisma, foje harfende ekzaktema elekto
de la terminoj.)}  
\item[]
{\em Werner, Jan:} Matematika vortaro esperanta-^ce^ha-germana. La a^utoro, 
Brno 1990. {\sl (La vortaro entenas 3722 terminojn sen difinoj.)}  
\end{trivlist}

En tiu ^ci bro^suro la terminoj estas ^cerpitaj plejparte el la ``Revizio'' de
Holdgr\"un kaj Kiselman, kiu la^ueble estu bazo por ^ciu estonta 
matematika verkado en Esperanto. Tamen mi (ankora^u) ne emis plene 
sekvi ^gin kaj uzis ekzemple ``intersekco'' anstata^u ``komuna^jo'', 
``lineare sendependa'' anstata^u ``lineare nedependa'' kaj ``vektorspaco''
anstata^u ``vektora spaco''. Anka^u mian uzon de ``triviala'' en la senco
de ``banala'' a^u ``tre simpla'' mi ne povas pravigi per ^gi. Kie mi 
malatentas la ``Revizion'', mi kutime apogis min sur la vortaron de
Jan Werner, kiu impresas pro sia amplekso kaj miaopinie ne malpli sa^ga
elekto de la terminoj.    

\subsection{Perioda\^{j}oj}

Matematikaj artikoloj en Esperanto aperas de tempo al tempo en la 
sekvaj gazetoj:

\begin{trivlist}
\item[]
{\em Scienca Revuo}, 2-foje jare, eldonas ISAE, redaktas Rudi Hauger, 
Ringstr. 13, CH-8172 Niederglatt, Svislando. 
\item[]
{\em Tutmondaj Sciencoj kaj Teknikoj}, 4-foje jare, eldonas Esperanto-Asocio,
Academia Sinica, 52 Sanlihe, 100864 Beijing, ^Cinio.
\item[]
{\em Matematiko Translimen}, aperas nur sporade: La lastaj numeroj estas 
n-ro 6 de 1983 kaj n-ro 7 de 1992.
\item[]
{\em Cirkulero de IAdEM}, aperas unufoje jare, eldonas Internacia Asocio de 
Esperant\-istaj Matematikistoj, redaktas Alfred Heiligenbrunner, 
Vorderdimbach 11, 4371 Dimbach, A^ustrio.
\vspace{0.2em}

\item[]
En la datenbanko de la Faka Informcentro Karlsruhe estas registritaj 
matematikaj publika^joj en ^cirka^u 50 lingvoj. Jen iliaj kvantoj la^u la stato
de 1995-09-20: angla 847~966, rusa 110~043, franca 45~100, germana 40~768, 
... , Esperanto 11, latina 11, ... . Certe la vera nombro de matematikaj 
libroj kaj artikoloj en Esperanto estas 10- ^gis 30-oble pli alta. En la 
menciita datenbanko trovi^gas krome ^cirka^u 100 publika^joj verkitaj 
de esperantistaj matematikistoj en naciaj lingvoj. Publika^joj en aliaj 
planlingvoj krom Esperanto ne estas registritaj. 

\end{trivlist}

\subsection{Kelkaj terminoj en kvar lingvoj}

Jen kelkaj terminoj el la lineara algebro kun tradukoj en la lingvoj angla, 
franca kaj germana. La nombro en krampoj malanta^u la termino indikas
la paragrafon a^u difinon, en kiu la termino unuafoje aperas. 
\begin{trivlist}
\item[]
{\bf aro} (2.1) {\em An} set; {\em Fr} ensemble {\em m}; {\em Ge} Menge {\em f}
\item[]
{\bf bazo} (4.3.5) {\em An} basis; {\em Fr} base {\em f}; {\em Ge} Basis {\em f}
\item[]
{\bf bildo} (2.2.1) {\em An} image; {\em Fr} image {\em f} ; {\em Ge} Bild 
{\em n}
\item[]
{\bf bildigo} (2.2.1) {\em An} map, mapping; {\em Fr} application {\em f}; {\em Ge} 
Abbildung {\em f}
\item[]
{\bf generantaro} (4.3.5) {\em An} generating set; {\em Fr} partie {\em f} 
g\'{e}n\'{e}ratrice; {\em Ge} Erzeugendensystem {\em n}
\item[]
{\bf grupo} (3.1.1) {\em An} group; {\em Fr} groupe {\em m} ; {\em Ge} 
Gruppe {\em f}
\item[]
{\bf kerno} (5.1) {\em An} kernel; {\em Fr} noyau {\em m}; {\em Ge} Kern {\em m}
\item[]
{\bf korpo} (3.2.1) {\em An} field; {\em Fr} corps {\em m}; {\em Ge} K\"{o}rper {\em m}
\item[]
{\bf lineare sendependa} (4.3.1) {\em An} linearly independent; {\em Fr} 
lin\'{e}airement ind\'{e}pendant; {\em Ge} linear unabh\"{a}ngig 
\item[]
{\bf subspaco} (4.2.1) {\em An} subspace; {\em Fr} sous-espace {\em m}; 
{\em Ge} Teilraum {\em m}
\item[]
{\bf vektorspaco} (4.1.1) {\em An} vector space; {\em Fr} espace {\em m} 
vectoriel; {\em Ge} Vektorraum {\em m}

\end{trivlist}

\subsection*{La a\v{u}toro}

Ulrich Matthias naski^gis en 1966 en Bad Pyrmont, Germanio, kaj 
esperantisti^gis en 1986. Li studis matematikon kun kromfako fiziko
en Heidelberg, kie li diplomi^gis en 1992 kaj doktori^gis en 1994.
Enrigardon en lian esplorkampon, la problemojn de ekstremeco en grafoteorio,
donas lia esperantlingva artikolo ``Rifuto de kombinatorika konjekto de
P. Tur\'{a}n'' en {\em Scienca Revuo} Vol. {\bf 45} (1994)(2), p. 26-30. 


\vspace{3em}
\noindent
{\Large\bf Fundamentoj de lineara algebro}

\renewcommand{\baselinestretch}{1.4}
\begin{large}
\vspace{0.7em}
\noindent
Tiu ^ci kajero entenas la plej bazajn difinojn, konkludojn kaj 
teoremojn de la {\em lineara algebro}. El la enhavo: grupoj, korpoj,
vektorspacoj, lineara sendependeco, bazoj, inter^san^go de bazaj 
vektoroj, la dimensia formulo por subspacoj, linearaj bildigoj, 
la dimensia formulo por linearaj bildigoj.
\end{large}

\end{document}




