Grafeiko

Formala difino de grafeo

Formale, grafeo estas triopo (V,E,P) el du disaj aroj --- nevakua V (la verticoj) kaj E (la eřoj) --- kaj triloka predikato P superV×E×Vindikanta, ću du verticojn el V ligas koncerna eřo el E; eřo ligas ne pli ol du verticojn.

Estu u, v EN V kaj e EN E; se verasP(u,e,v), tiam la verticoj u kaj v estas najbaraj; la eřo e estas incida al v (iras al v) kaj u (iras el u); tial la predikato P estas nomata incidpredikato. Ćiu eřo e apartenas al unu el la tri specoj:

Simetria eřo:(EKZISTAS x,y EN V)[x<>y & P(x,e,y) & P(y,e,x)].
Direkta eřo:(EKZISTAS x,y EN V)[x<>y & P(x,e,y) & ~P(y,e,x)]; iuj aýtoroj nomas tian eřon arko.
Maţo: (EKZISTAS x EN V)P(x,e,x).

Aplikoj

La nocio "grafeo" utilas kiam temas pri du aroj de objektoj, kaj la elementoj de la dua aro rolas kiel ligiloj, popare rilatigantaj la anojn de la unua. Ekz-e elementoj de cirkvito kaj konektoj inter ili; la urboj kaj la trajnoj (la fervoja reto); la homoj kaj la rilatoj inter ili (amika, parenca ktp); strukturaj formuloj ¶emiaj. Por unu sama duopo oni povas konsideri plurajn tiajn rilatojn, kiuj povas esti simetriaj aý unudirektaj; ne maleblas rilato de objekto kun si mem. Plej ofte temas pri grafeo kies ćiuj eřoj estas direktaj (direkta grafeo) aý ćiuj eřoj estas simetriaj (sendirekta grafeo); ekzemplo pri miksa ("nedirekta" aý "parte direkta") grafeo estas urba trafikmapo, montranta unusencumajn kaj dusencumajn stratojn (direktajn kaj simetriajn eřojn).

Prezentoj

Grafeon oni ofte bildigas per desegno, ekz-e

[Desegno]

La grafeo

[Kuba
grafeo]

klarigas la ideon motivantan la terminojn "vertico" kaj "eřo"; verdire, la pluredroj estas tre speciala kazo de grafeoj. Fakte la nocio "grafeo" ne estas apartenaĽo de la "kontinua matematiko"; la formala difino uzas nur tre řeneralajn nociojn de la arteorio (kp grafikaĽo), kaj krom la geometriajn oni ankaý uzas tute diskretajn prezentojn --- ekz-e per incidmatrico. En tiu prezento la rilaton inter vertico v_i kaj eřoe_jesprimas la elemento de matrico M[i,j] laý unu el la sekvaj kazoj:

0: v_ikaj e_j ne estas incidaj;
A: e_j estas direkta eřo alvenanta en v_i;
D: e_j estas direkta eřo deiranta el v_i;
M: e_j estas maţo incida al v_i;
S: e_j estas simetria eřo incida al v_i.

Tiel la grafeon

prezentas la sekva incidmatrico M:

   -+---+---+---+---+---+---+---
    | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7
   -+---+---+---+---+---+---+---
   u| M | M | M | D | 0 | 0 | D
   v| 0 | 0 | 0 | A | D | S | 0
   w| 0 | 0 | 0 | 0 | A | S | A
   -+---+---+---+---+---+---+---

Estu R libera duonringo kun la generantaro

{0,A,D,M,S}

kaj M^*estu la transponito de M. Tiam la kvadrata matricoB=M·M^*super R estas la vertica najbarmatrico, dum H=M^*·M estas la eřa najbarmatrico. Tiu dua estas uzata multe pli malofte ol la unua, tial per senadjektiva "najbarmatrico" oni kutime nomas la vertican najbarmatricon.

En la praktiko grafeoj ofte estas prezentataj per listoj aý ligillistoj (ekzemplo); ankaý vd duuma arbo.

La dirita ne signifas, ke la grafea problemaro ne estas rilatigebla al geometrio; ekz-e, oni povus konsideri problemon tre interesan por la praktiko: ću donita grafeo desegneblas tiel, ke la linipecoj prezentantaj diversajn eřojn ne interkruciřas (t.e. ću la grafeo estas ebena grafeo; ekz-e la grafeo [vd] estas ebena, dum [vd] estas neebena).

Grafeo estas n-obl'eřa, aý n-grafeo, se neniajn du řiajn verticojn ligas pli ol n eřoj, t.e. por ćiuj u,v EN V veras

|{e EN E: P(u,e,v) AÝ P(v,e,u)}| <= n.

Por la direktaj grafeoj oni nombras nur la samdirektajn eřojn:

|{e EN E: P(u,e,v)}| <= n.

Speciale menciindas nulgrafeo (aý 0-grafeo, vakua grafeo), unugrafeo kaj plurgrafeo (n-grafeo kiu ne estas 1-grafeo, n>1; ekz-e [vd]

). Oni kutimas identigi izomorfajn grafeojn.

Rim. Iuj aýtoroj simpligas la difinon de grafeo, reduktante grafeon al duloka rilato (t.e. difinas eřon kiel verticduopon); tio malebligas la plurgrafeojn, kiuj ja estas uzataj por priskribi aýtomatojn, gramatikojn (vd sintaksa diagramo) ktp; la problemo pri la Konigsbergaj pontoj, de kiu komenciřis grafeiko, kondukas al 2-grafeo [vd] . Kp arbo, hamako, kompleta grafeo, koneksa grafeo, reto, subgrafeo, supergrafeo, vojo.